不等式证明中导数的妙用

(2014)届本科生毕业设计(论文)题目不等式证明中导数的妙用专业数学与应用数学院系数学与计算机科学学院学号1008021013姓名赵学梅指导教师胡小平2014年05月绵阳师范学院2014届本科毕业设计(论文)论文题目来源：国家自然科学基金项目编号：四川省自然科学研究项目编号：校级自然科学研究项目编号：绵阳师范学院2014届本科毕业设计(论文)不等式证明中导数的妙用学生:赵学梅指导教师:胡小平摘要:不等式的证明是数学学习中的重要内容之一,其常用方法有:比较法、分析法、综合法、归纳法、特殊不等式法等.导数作为微积分学的基本内容,利用它来证明不等式是一种行之有效的好方法,它能将某些不等式的证明化难为易,迎刃而解.通过对不等式证明中导数的应用的常用解题方法及策略的归纳和总结,能够让读者更加清楚在解这些题时应该注意到他们以前容易忽略的那些条件,能够更加清楚地知道在解这些题时该如何着手去做.本文我主要采用以下方法进行研究:文献法,例证法.因为本文研究的内容涉及的知识面比较广泛,因此我首先通过在网上收集了许多有关不等式证明和导数的相关问题的策略在理论数学方面的一些相关知识,并且收集了导数在不等式证明中的多种技巧性方法.其次我也在学校图书馆借了一些关于不等式的证明以及导数的相关书籍并认真阅读了每本书上的各方面的内容.然后我也和老师,同学探讨了一些关于不等式证明中导数的应用问题.所以我采用多种方式来研究本文,结合网上,书上提供的一些相关内容和自己对其基础知识的应用和理解完成这篇论文.关键词:不等式;导数;证明;函数.绵阳师范学院2014届本科毕业设计(论文)TheproofofinequalityinderivativeUndergraduate:ZhaoXue-meiSupervisor:HuXiao-pingAbstract:Inequalityisoneoftheimportantcontentinmathematicslearning,thecommonlyusedmethodsare:thecomparativemethod,analysis,synthesis,induction,specialinequalitymethodetc..Derivativeasthebasiccontentofcalculus,useittoproveinequalityisaneffectiveway,itwillbeeasiertoprovesomeinequalities,besmoothlydoneoreasilysolved.Thesolvingmethodsofprovinginequalitiesintheapplicationofderivativeandmethodsofinductionandsummary,sothatreaderscanclearlynoticethattheypreviouslyneglectedshouldbeinthesolutionoftheseproblems,canmoreclearlyknowthesolutionstotheseproblemsishowtodoit.Inthispaper,Imainlyusetwokindsofmethods:literatureresearchmethod,examplemethod.Becauseknowledgeofthecontentsofthispaperinvolvemoreextensive,soIfirstlythroughsomerelatedknowledgeontheInternettocollectmanyrelatedproblemsofinequalityandderivativestrategiesintheoreticalmathematics,andcollectavarietyoftechniquesforderivativeinprovinginequality.Secondly,Ialsointheschoollibrarytoborrowbooksrelatedtosomeproofofinequalityandderivativeandreadeverybookonthevariousaspectsof.ThenIwillandtheteacher,thestudentsstudiedsomeproblemsaboutapplicationofderivativeoftheinequalityproof.SoIusedmanywaystostudythispaper,combinedwithonline,somebookprovidedandtheapplicationofbasicknowledgeandunderstandingtocompletethispaper.Keywords:inequality;derivative;prove;function.绵阳师范学院2014届本科毕业设计(论文)目录绪论........................................................................11不等式....................................................................11.1不等式的基本性质....................................................11.2不等式的一般证明方法................................................22导数......................................................................32.1导数的定义..........................................................32.2一般的求导法则.....................................................33利用函数的单调性证明不等式................................................44利用两导数的不等性证明不等式..............................................75利用函数的凹凸性证明不等式................................................85.1利用凸函数证明不等式...............................................85.1利用凹函数证明不等式...............................................96利用函数的最值(或极值)证明不等式.........................................106.1利用函数的极值证明不等式...........................................106.2利用函数的最值证明不等式...........................................107利用微分中值定理证明不等式...............................................117.1利用拉格朗日中值定理证明不等式.....................................117.2利用柯西中值定理证明不等式.........................................138利用泰勒不等式公式证明不等式.............................................14结论.......................................................................14参考文献...................................................................16致谢.....................................................................17绵阳师范学院2014届本科毕业设计(论文)1绪论不等式的证明是中学数学教学的一个重点难点,导数的应用也是数学考题中一个重要的知识考点.传统的证明不等式的方法技巧性很强,大多数学生不容易想到,而且各类不等式的证明方法没有通性通法.随着新教材的改革,教材中引入导数,这为我们处理这个不等式的证明问题又提供了一个新的方向和证明途径,而且在近几年的高考试题中,使用导数的一系列性质和特点来证明不等式也经常出现,但现行教材中对这一类问题没有展开深入的研究分析,这使得学生对这一简便的方法并不是很了解.利用导数来证明不等式的思路十分清晰,方法简捷,操作性较强,容易被学生所掌握.不等式的证明问题中不同的类型有不同的证明方法,若试题中给出的函数可导时,那么利用导数去证明不等式也是一种行之有效的方法.利用导数的各种性质和特性证明不等式,最主要的是首先要构建一个与题目相关的函数,再根据题目要求逐步证明出不等式,或者与该不等式证明相关的不等式或等式,从而完成试题要求.本文针对函数性质,包括函数的单调性、函数的极值、函数的凹凸性等在不等式证明中的应用进行举例证明.1不等式要完成不等式的证明,首先应了解不等式的一些基本情况,包括不等式的概念,不等式的基本性质,以及不等式的一般的证明方法,从而才能更好的解决不等式的证明问题,才能了解导数在不等式证明中的巨大作用,与一般方法进行对比.用不等号连接两个解析式所成的表达式,叫做不等式.1在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子,那它就是一个不等式.如mnnm222,1sinx,0xe，大于、小于或连接的不等式称为严格不等式,用大于或等于号、小于或等于号“”、“”连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式.例如xx)1lg(是超越不等式.不等式分为严格不等式与非严格不等式.一般地,用纯粹的大于号、小于号“”、“”连接的不等式称为严格不等式,用大于或等于号、小于或等于号“”(大于等于符号)“”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式.通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为),,,(),,,(zyxGzyxF(其中不等号也可以为,,中某一个),两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个问题.1.1不等式的基本性质不等式具有以下的基本性质:①若yx,那么xy;若xy,那么yx;(对称性)②若yx,zy;那么zx;(传递性)③若yx,而z为任意实数或整式,那么zyzx;(加法原则,或叫同向不等式可加性)④若yx,0z,那么yzxz;若yx,0z,那么yzxz;(乘法原则)⑤若yx,0z,那么zyzx;若yx,0z,那么zyzx;⑥若yx,nm,那么nymx;(充分不必要条件)⑦若0yx,0nm,那么ynxm;2绵阳师范学院2014届本科毕业设计(论文)2⑧若0yx,那么x的n次幂大于y的n次幂(n为正数),x的n次幂小于y的n次幂(n为负数).总而言之,不等式的基本性质有:①对称性;②传递性;③加法单调性;(即同向不等式可加性)④乘法单调性;⑤同向正值不等式可乘性;⑥正值不等式可乘方;⑦正值不等式可开方;⑧倒数法则.3……如果从不等式的基本性质出发,通过各种逻辑推理,可以论证大量初等的不等式,上面是其中比较有名的一些基本性质,对应用导数来证明不等式奠定了基础知识