11考研帮考研数学模考一试卷杨超命题

考研数学终极预测题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)设函数f(x)=∫x0dt∫t0tln(1+u2)du,g(x)=∫sinx20(1-cost)dt则当x→0时,f(x)是g(x)的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但不等价无穷小(2)已知fx()=x2+a2()x-1()e1x+b在-∞,+∞()上有一个可去间断点和一个跳跃间断点,则()(A)a=1,b=-1(B)a=0,b=1(C)a≠0,b=-e(D)a=e,b=-1(3)设f(x)处处可导,则()(A)当limx→-∞fx()=-∞时,limx→-∞f'x()=-∞(B)当limx→-∞f'x()=-∞时,limx→-∞fx()=-∞(C)当limx→+∞fx()=+∞时,limx→+∞f'x()=+∞(D)当limx→+∞f'x()=+∞时,limx→+∞fx()=+∞(4)(数一,数三)对于∑∞n=1-1()nnp+1n3-pæèçöø÷,下列结论正确的是()(A)p0时,级数收敛(B)p1时,级数收敛(C)0p2时,级数绝对收敛(D)1p2时,级数绝对收敛(数二)设f(u)为连续函数,a为常数,下列变限积分函数为奇函数的个数为()①∫xa∫u0ft2()dt[]du②∫x0∫uaft()-f-t()[]dt[]du③设ft()为奇函数,∫x0∫yxft3()dt[]dy④∫xa∫y-yft()dt[]dy(A)1(B)2(C)3(D)4(5)(数一,数三)设α1,α2,α3,β均为三维列向量,则下列命题正确的是()①若β不能由α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3必线性相关.②若β不能由α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3必线性无关.③若α1,α2,α3线性相关,则β必不可由α1,α2,α3线性表示.④若α1,α2,α3线性无关,则β必可由α1,α2,α3线性表示.(A)①,②(B)①,③(C)①,④D②④(数二)下列反常积分发散的是()(A)∫+∞0x2e-x2dx(B)∫+∞0exxdx(C)∫+∞0dxxln2x(D)∫+∞0dxx+1()ln21+x()(6)(数二,数三)设矩阵A=11-21-21-211æèçççöø÷÷÷,则下列矩阵中与矩阵A等价,合同但不相似的是()(A)1-21-24-21-21æèçççöø÷÷÷(B)2-1-1-12-1-1-12æèçççöø÷÷÷(C)30000000-3æèçççöø÷÷÷(D)001000100æèçççöø÷÷÷(数二)设z=φx2-y2(),其中φ有连续导数,则z满足()(A)x∂z∂x+y∂z∂y=0(B)x∂z∂x-y∂z∂y=0(C)y∂z∂x+x∂z∂y=0(D)y∂z∂x-x∂z∂y=0(7)(数一,数三)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,且都在区间(-1,1)上服从均匀分布,则limn→∞P1n∑ni=1Xi≤1{}=()(A)Φ(2)(B)Φ(3)(C)Φ(2)(D)Φ(6)(数二)设α1,α2,α3,β均为三维列向量,则下列命题正确的是()①若β不能由α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3必线性相关.②若β不能由α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3必线性无关.③若α1,α2,α3线性相关,则β必不可由α1,α2,α3线性表示.④若α1,α2,α3线性无关,则β必可由α1,α2,α3线性表示.(A)①,②(B)①,③(C)①,④(D)②,④(8)(数一,数三)设随机变量X,Y相互独立,且X服从二项分布B1,12æèçöø÷,Y服从参数为1的指数分布,则概率P{X+Y≥1}等于()(A)1+1e(B)1-1e(C)12(1+1e)(D)12(1-1e)(数二)设矩阵A=11-21-21-211æèçççöø÷÷÷,则下列矩阵中与矩阵A等价,合同但不相似的是()(A)1-21-24-21-21æèçççöø÷÷÷(B)2-1-1-12-1-1-12æèçççöø÷÷÷(C)30000000-3æèçççöø÷÷÷(D)001000100æèçççöø÷÷÷二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上.(9)∫xcos4x2æèçöø÷sin3xdx=.(10)∫10dy∫1yx2-y2dx=.(11)limn→∞1+n2+n3+…+n20172017æèçöø÷n=.(12)(数一)设u=lnx2+y2+z2,则rotgradu()=.(数二)微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=.(数三)差分方程yt+1-yt=t·2t的通解为.(13)(数一,数三)设A=210120001æèçççöø÷÷÷,矩阵B满足ABA*=2BA*+9A-1,则|B|=.(数二)x=3at1+t3y=3at21+t3ìîíïïïï为蔓叶线的参数方程,其渐近线方程为.(14)(数一,数三)设(X,Y)服从二维正态分布,其概率密度为f(x,y)=12π·10e-12(x210+y210)(-∞x+∞,-∞y+∞),求P{XY}=.(数二)设A=210120001æèçççöø÷÷÷,矩阵B满足ABA*=2BA*+9A-1,则|B|=.三、解答题(15)(本题满分10分)(数一)∫e-sinxsin2xsin4π4-x2æèçöø÷dx.(数二,数三)设f(x)在x=0的领域内一阶连续可导,f'(0)=0,f″(0)存在,求:limx→0f(x)-f(ln(1+x))x3.(16)(本题满分10分)(数一)设fx()在a,b[]上连续,在a,b()内有2阶连续导数(Ⅰ)写出fx()在a+b2处的一阶泰勒展开式;(Ⅱ)证明至少存在一点ξ∈a,b()使fb()-2fa+b2æèçöø÷+fa()=b-a()24f″ξ();(Ⅲ)若f'a+b2æèçöø÷=0,则至少存在一点η∈a,b(),使fb()-fa()≤b-a()24f″η().(数二,数三)设fx()在a,b[]上二阶可导,且f″x()≤0,x1,x2为a,b[]上任意两点,试用泰勒公式证明fx1+x22æèçöø÷≥fx1()+fx2()2.(17)(本题满分10分)(数一)已知函数z=zx,y()满足x2∂z∂x+y2∂z∂y=z2,又设u=x,v=1x-1y,w=1z-1x,对w=wu,v(),证明∂w∂u=0.(数二,数三)求∬Dx2+y2+y()dσ,其中D是由圆x2+y2=4和x+1()2+y2=1所围成的平面区域.(18)(本题满分10分)(数一)设an=∫π40tannxdx(Ⅰ)求∑∞n=11n(an+an+2)的和;(Ⅱ)证明:当λ0时,∑∞n=1annλ收敛.(数二)已知函数z=zx,y()满足x2∂z∂x+y2∂z∂y=z2,又设u=x,v=1x-1y,w=1z-1x,对w=wu,v(),证明∂w∂u=0.(数三)某公司通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式:R=15+14x1+32x2-8x1x2-2x21-10x22(Ⅰ)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;(Ⅱ)若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.(19)(本题满分10分)(数一)设Σ为上半球面x2+y2+z2=1z≥0()的上侧,连续函数fx,y()满足fx,y()=2xy2+x2+∬Σx3dydz+y3dzdx+zfx,y()+z3+1()dxdy求fx,y().(数二,数三)设曲线方程为y=e-xx≥0().把曲线y=e-x,Ox轴、Oy轴和直线x=ξξ0()所围平面图形绕Ox轴旋转一周,得一旋转体.(Ⅰ)求此旋转体体积Vξ();并求满足Va()=12limξ→+∞Vξ()的a.(Ⅱ)在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.(20)(本题满分11分)(数一,数三)设A为n阶矩阵(Ⅰ)已知β为n维非零列向量,若存在正函数k,使Akβ≠0,但Ak+1β=0,则向量组β,Aβ,A2β,…,Akβ线性无点;(Ⅱ)证明Anx=0与An+1x=0是同解方程组.(数二)求坐标原点到曲线x2+y2-z2=12x-y-z=1{的最短距离.(21)(本题满分11分)(数一,数三)设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3.(Ⅰ)求矩阵A的特征值;(Ⅱ)问A能否相似对角化?若能,请求出相似变换矩阵P与对角阵Λ;若不能,请说明理由.(数二)求微分方程组dy1dx=y1(1)dy2dx=y1+y2+y32()dy3dx=2y1-y2+3y33()ìîíïïïïïïïï满足初始条件y10()=1,y20()=1,y30()=1的解.(22)(本题满分11分)(数一,数三)设随机变量X与Y相互独立,且均服从0,3[]上的均匀分布,记U=maxX,Y(),V=minX,Y().(Ⅰ)求U的概率密度;(Ⅱ)求EU+V().(数二)设A=112-110101æèçççöø÷÷÷,B=a40-10c1b1æèçççöø÷÷÷,问a,b,c为何值时,矩阵方程AX=B有解?有解时求出全部解.(23)(本题满分11分)(数一,数三)设随机变量X,Y()的概率密度函数为fx,y()=3x,0x1,0yx,0,其他.{记Z=X-Y.(Ⅰ)求条件概率密度fYXyx();(Ⅱ)求条件概率PX≤12Y≤12{};(Ⅲ)求Z的概率密度函数.(数二)设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3.(Ⅰ)求矩阵A的特征值;(Ⅱ)问A能否相似对角化?若能,请求出相似变换矩阵P与对角阵Λ:若不能,请说明理由.