14数学二试题考研数学真题及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。（1）函数3()sinxxfxnx与2()ln(1)gxxbx是等价无穷小，则（）（A）1（B）2（C）3（D）无穷多个（2）当0x时，()sinfxxax与2()ln(1)gxxbx是等价无穷小，则（）（A）11,6ab（B）11,6ab（C）11,6ab（D）11,6ab（3）设函数(,)zfxy的全微分为dzxdxydy，则点（0，0）（）（A）不是(,)fxy的连续点（B）不是(,)fxy的极值点（C）是(,)fxy的极大值点（D）是(,)fxy的极小值点（4）设函数(,)fxy连续，则222411(,)(,)yxydxfxydydyfxydx=（）（A）2411(,)ydxfxydy（B）241(,)xxdxfxydy（C）2411(,)ydxfxydx（D）221(,)ydxfxydx（5）若()fx不变号，且曲线()yfx在点（1，1）的曲率圆为222xy，则()fx在区间（1，2）内（）（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点（6）设函数()yfx在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xFxftdt为（）（7）设Ａ、B均为2阶矩阵，,AB分别为A、B的伴随矩阵。若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵00AB的伴随矩阵为（）（A）0320BA（B）0230BA（C）0320AB（D）0230AB（8）设A，P均为3阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且TPAＰ＝100010002，若1231223(,,),(,,)PQ，则TQAQ为（）（Ａ）2101（Ｂ）11012000（Ｃ）20001（Ｄ）100020002二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）曲线21022ln(2)tuxeduytt在（0，0）处的切线方程为____________（10）已知||1kxedx，则k=____________（11）10limsinxnenxdx=___________（12）设()yyx是方程1yxyex确定的隐函数，则202|xdydx=____________（13）函数2xyx在区间(0,1]上的最小值为_________（14）设,为3维列向量，T为的转置，若T相似于200000000，则T=___________三、解答题：15-23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分9分）求极限40(1cos)[ln(1tan)]limsinxxxxx（16）（本题满分10分）计算不定积分1ln(1)(0)xdxxx（17）（本题满分10分）设(,,)zfxyxyxy，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与2zxy（18）（本题满分10分）设非负函数y=y(x)(x0)，满足微分方程20xyy，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。（19）（本题满分10分）求二重积分()Dxydxdy，其中22{(,)|(1)(1)2,}Dxyxyyx（20）（本题满分12分）设y=y(x)是区间(,)内过点(,)22的光滑曲线，当0x时，曲线上任一点处的发现都过原点，当0x时，函数y(x)满足0yyx。求y(x)的表达式。（21）（本题满分11分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数()fx在[a,b]上连续，在（a,b）可导，则存在(,)ab，使得()()()()fbfafba。（II）证明：若函数()fx在x=0处连续，在(0,)(0)内可导，且0lim()xfxA则(0)f存在，且(0)fA。（22）（本题满分11分）设11111111,10422A（I）求满足22131,AA的所有向量23,；（II）对（I）中的任一向量23,，证明：123,,线性无关。（23）（本题满分11分）设二次型2221231231323(,,)(1)22fxxxaxaxaxxxxx（I）求二次型f的矩阵的所有特征值；（II）若二次型f的规范形为2212yy，求a的值。