7.7数列极限-无穷等比数列

1()0.3=3证一：()0.9=A二：设0.9=19.9=10A9.90.9=10AA--9=9AA=1引例10.91思考：与哪个大？0.9=1大多少？0.99999()11.000000.9109109三：引例10.91思考：与哪个大？0.9=11=0.91大多少？()11.三：0.91思考：与哪个大？大多少？0.9=1()0.9=0.999=0.9+0.09+0.009+四：n-1na=0.90.1设10.9=S20.99=S30.999=Snn0.999=S个0.9=1nnlimSnn0.9(10.1)=lim10.1--0.9(10)=10.1--=1引例1n0.9S(nN*)nn0.9limS110.9又显然0.9=飞跃nnnnn{a}q,,{a}limS.,{a}0|q|1无穷递缩等比数列各项的和为S=设是以为公比的等比数列当时称为定义nnlimS则S=n1na(1q)=lim1q--1a(10)=1q--1=a1q-定义：n1na(1q)S=n,1q--答：与有关是变量；n:(1){a}n?问“前项和”与“各项的和”有何区别1a(0|q=|1)1q-1aS=n,.1q-各项的和与无关常量是0|q|1:(2)?问为何要有条件nn,limS.答：不满足时将不存在nnnnn{a}q,,{a}limS.,{a}0|q|1无穷递缩等比数列各项的和为S=设是以为公比的等比数列当时称为定义nnlimS则S=定义：:(3)?问“递缩”与“递减”等价吗.答：互不相同1.:(1)0.1;(2)0.18;(3)0.2009例将下列循环小数化为分数形式:(1)0.1=0.1+0.01+0.001+解1nna0.110.1=limS===10q.191--则(2)0.18=0.18+0.0018+0.000018+1nna0.1820.18=limS===1q10.0111--则(3)0.2009=0.2+0.0009+0.0000009+nn0.2009=0.2+limS则20.0009=+1010.001-n-1na=0.10.1,设n-1na=0.180.01,设n-1na=0.00090.001,设21223=+=1011101110nn223344534562342.nS,limS.(1)0.20.020.0023+43+43+43+4(2)55551121314(3)sinsinsinsin22222222n--例以下无穷数列前项和记为求，，，，，，，，，，，12n+1n0.220.022:(1)a=0.2==,a=0.02==,10.1910.190a1q==a10--解设易知n29limS=1110n-n20limS=81nnn+1nnn+2n+2(-3)4:(2)a=,b=55解设n12n12nlimS=lim[(a+a++a)+(b+b++b)]nnnn34{a}{b}55-易知和的公比分别为和12n12n=lim(a+a++a)+lim(b+b++b)nnnn223344534562342.nS,limS.(1)0.20.020.0023+43+43+43+4(2)55551121314(3)sinsinsinsin22222222n--例以下无穷数列前项和记为求，，，，，，，，，，，n3163165125125limS=+=+=342002581()155n-----nn223344534562342.nS,limS.(1)0.20.020.0023+43+43+43+4(2)55551121314(3)sinsinsinsin22222222n--例以下无穷数列前项和记为求，，，，，，，，，，，nn+1nnn+2n+2(-3)4:(2)a=,b=55解设[]分部思想111:(3),0,,0,,2832-解数列为n122limS==151()4n--nn223344534562342.nS,limS.(1)0.20.020.0023+43+43+43+4(2)55551121314(3)sinsinsinsin22222222n--例以下无穷数列前项和记为求，，，，，，，，，，，[]简化思想nnn3.{a}aam,m.后例已知无穷等比数列中与之比的各为求实数的的和取值范围项:q,解设公比为nn+1aa,q.后的项的是以为首项为公比的等比数列0|q|10|q|1(1)1(2)qmq1(2)(1m)1(m1)m1[]qq变量分离由1(1)0||11|m+1|m1由m(-,-2)(0,+)nn+1aa1mq由题意4.,1,,()?例如图从下往上叠放起了无数个正方体，最下方的一个边长为上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点问：所有正方体暴露的面积总和为多少含下底1'S=1下解：2'S=1上面向上方的图形面积总和恰为最大正方体一个面的面积3'4,1,2各正方体的侧面积所成数列是以为首项为公比的等比数列4S==8112-侧S=S+S+S=10下总侧上[]分部思想A8A7A6A5A4A3A2A0A1nn-1n(1)a=AA解：设n1{a}1,,2则是以为首项为公比的等比数列1L==2112-012n+1n+201nn+15.,AA,A,,90,AA1AA=1,nN,=.AA2(1)L(2)K例如图质点由运动到再运动到依次无限进行下去每到一个端点都逆时针转向对任意都有问：该质点运动总路程为多少？总位移大小又为多少？A8A7A6A5A4A3A2A0A1xyO001(2),A,AAx.解：如图以为原点为轴建立直角坐标系n-1n1x=1()4-水平方向非零位移所成数列为n-1n11y=()24-竖直方向非零位移所成数列为14x==,151()4--0.52y==,151()4--012n+1n+201nn+15.,AA,A,,90,AA1AA=1,nN,=.AA2(1)L(2)K例如图质点由运动到再运动到依次无限进行下去每到一个端点都逆时针转向对任意都有问：该质点运动总路程为多少？总位移大小又为多少？A8A7A6A5A4A3A2A0A1xyO001(2),A,AAx.解：如图以为原点为轴建立直角坐标系n42A(,)55的极限位置为012n+1n+201nn+15.,AA,A,,90,AA1AA=1,nN,=.AA2(1)L(2)K例如图质点由运动到再运动到依次无限进行下去每到一个端点都逆时针转向对任意都有问：该质点运动总路程为多少？总位移大小又为多少？224225K=(-0),(-0)=55512326.,ABCT,T,T,,|AB|=a,B=90,0.8a,BCC.例如图在直角中排列着面积从大到小依次为的无数个正方形已知若所有正方形的面积和为求和的大小D4D3D2D1DB4A4B3A3B2A2B1A1ACB1:aqC分析易知各项的和和的关系式n:C=,{a},解设各正方形按从大到小边长所成数列为1AAD=易知111aaAD==tanADa-1aa=1+tan1112212ADaa==tanADa-同理21a1=a1+tan12326.,ABCT,T,T,,|AB|=a,B=90,0.8a,BCC.例如图在直角中排列着面积从大到小依次为的无数个正方形已知若所有正方形的面积和为求和的大小D4D3D2D1DB4A4B3A3B2A2B1A1ACBn:C=,{a},解设各正方形按从大到小边长所成数列为1AAD=易知111aaAD==tanADa-1aa=1+tann+1na1==q(nN*)a1+tan如此可得1:aqC分析易知各项的和和的关系式科赫雪花曲线（分形图案）经过n次拓展：边长为1的正三角形无限变化下去（1）写出边数变化的递推公式；（2）写出每条边长度变化的递推公式；1+134(nN*)nnNNN1+1L11LL(nN*)3nn（3）写出周长变化的递推公式；1+1C14CC(nN*)3nn（4）写出围住区域的面积变化的递推公式；n1n11nnnn+1nn2341.{a}411.25,12,aq.22.{a},aa.3.{}q1,SnS,lim.S12344*.nS,limS.5555nn-已知无穷等比数列前项和为各项的和为求和公比已知无穷等比数列各项的和为求的取值范围无穷等比数列a的公比前项和记为求数列，，，，前项和记为求古代学者庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”引例2n11111=+++++2482nn0.5(10.5)=lim10.5--0.5(10)=10.5--=1nnnn4.nS,S=1+ra(nN*,r1),limS=1,r.n例无穷数列前项和记为且求实数的取值范围nnn+1n+1S=1+ra(1):(nN*)S=1+ra(2)解n+1n+1nn+1n(2)(1)a=SS=r(aa)---n+1n(r1)a=ra(r1)-n+1nra=a(nN*),r1-11111a=S=1+ra(r1)a=1r-又0nnnn4.nS,S=1+ra(nN*,r1),limS=1,r.n例无穷数列前项和记为且求实数的取值范围n+1nra=a(nN*),r1-011a=1r-n1(n=1)1'r=0,a=0(n2,nN*)当时nnS=1limS=1,.n符合n1r2'r0,{a},,1rr1--当时以为首项以为公比的等比数列(1)1r01||1rr1(2)r1r11----由题意r01(2),(1)|r||r1|-、成立r01r0.5、11'2'r(,)2-综合和得