沪科版八年级数学上册12.2.1-认识一次函数(课件)【新版】

第12章一次函数第2节一次函数第1课时正比例函数的图象和性质课堂讲解课时流程12一次函数与正比例函数的定义正比例函数的图象正比例函数的性质逐点导讲练课堂小结课后作业在上节，遇到过这样一些函数：h=30t+1800;Q=-25t+300;y=2x;y=-2x;s=80t.这些函数有什么共同特点？1知识点一次函数与正比例函数的定义知1－讲1.定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx(k为常数，且k≠0)，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．知1－讲2.要点精析：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的结构特征：①k≠0；②自变量x的次数是1；③常数项b可以是任意实数．知1－讲例1下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？(1)y＝－2x2；(2)y＝；(3)y＝3x2－x(3x－2)；(4)x2＋y＝1；(5)y＝－.导引：先看函数式是否为整式，再经过恒等变形，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断．12x3x解：(1)因为x的指数是2，所以y＝－2x2不是一次函数．(2)因为所以是一次函数．(3)因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，所以它是一次函数，也是正比例函数．11111,0,,22222xyxkb12xy知1－讲知1－讲(4)x2＋y＝1，即y＝1－x2.因为x的指数是2，所以x2＋y＝1不是一次函数．(5)因为y＝－不是整式，不符合y＝kx＋b的形式，所以它不是一次函数．3x总结判断函数式是否为一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数表达式y＝kx＋b的结构特征：(1)k≠0；(2)自变量x的次数为1；(3)常数项b可以为任意实数．知1－讲知1－讲例2〈原创易错题〉已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2－(m＋n－8)；(1)当m、n为何值时，函数是一次函数？(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1时的函数值．知1－讲导引：(1)由一次函数的定义，结合原函数式的特征知：①二次项的系数必为0，即n2－4＝0；②(2n－4)xm－2必为一次项，即m－2＝1，2n－4≠0；(2)写出表达式，运用代入法求函数值．知1－讲解：(1)由题意，得解得m＝3，n＝－2.所以当m＝3，n＝－2时函数是一次函数．(2)由(1)得此一次函数的表达式为y＝－8x＋7.当x＝1时，y＝－8×1＋7＝－1.24021240.nmn知1－讲总结根据一次函数的定义求待定字母的值时，要注意：(1)函数的表达式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；(2)隐含条件：自变量(一次项)的系数不为0.1.定义：一般地，形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数，叫做正比例函数；其中k叫做比例系数．要点精析：(1)判断一个函数是否为正比例函数的方法：看这个函数是否满足以下两个条件：①所给等式是形如y＝kx的等式；②比例系数k是常数，且k不等于0.同时满足这两个条件，它就是正比例函数．知1－讲(2)正比例函数反映的是两个变量之间的关系，是正比例函数关系．2．易错警示：(1)正比例函数y＝kx中，k≠0，x的指数为1；(2)自变量的取值范围：一般情况下，正比例函数中自变量的取值范围是全体实数，但在实际问题中，注意自变量的取值要有实际意义.知1－讲例3写出下列问题的函数表达式，并判断哪些是正比例函数．(1)已知圆的周长C是半径r的函数；(2)油箱中有油30L，若油均匀流出，150min流尽，则油箱中余油量Q(L)是流出时间t(min)的函数；(3)小明以4km/h的速度匀速前进，则他所走的路程s(km)是时间t(h)的函数；知1－讲(4)某种商品每件进价100元，售出时每件获得20%的利润，销售额y(元)是售出商品数量x(件)的函数．解：(1)C＝2πr，是正比例函数．(2)Q＝30－t，不是正比例函数．(3)s＝4t，是正比例函数．(4)y＝(100＋100×20%)x＝120x，是正比例函数．15总结(1)根据题意可先得到数量间的关系式，然后写成函数表达式的形式．(2)判断是否为正比例函数的依据：即看两个变量的比是不是常数，即是不是形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数．知1－讲例4已知函数y＝(k－2)x|k|－1(k为常数)是正比例函数，则k＝________．导引：根据正比例函数的定义，此函数表达式应满足：(1)变量x的指数为1，即|k|－1＝1，所以k＝±2；(2)比例系数k－2≠0，即k≠2.综上，k＝－2.－2知1－讲总结由正比例函数的定义知正比例函数的自变量的指数为1；应用定义求值时，不要忽视比例系数不为0这一条件.知1－讲1下列函数中，y是x的一次函数的是()A．y＝x2＋2xB．y＝－C．y＝xD．y＝＋13x2x知1－练C2下列函数：①y＝2x－1，②y＝πx，③y＝，④y＝x2中，一次函数的个数是()A．1B．2C．3D．41x知1－练B3已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是()A．－3B．3C．±3D．±2知1－练A4下列问题中，变量之间的关系是正比例函数关系的是()A．长方形的面积固定，长和宽之间的关系B．正方形的面积和边长之间的关系C．三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系D．匀速运动中，路程和时间之间的关系知1－练D(中考·凉山州)已知函数y＝2x2a＋b＋a＋2b是正比例函数，则a＝________，b＝________.5知1－练2313－2知识点正比例函数的图象知2－讲例1在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象：y=x,y=x,y=3x.12解：列表(为便于比较，三个函数值计算表排在一起)x…01…y=x…0…y=x…01…y=3x…03…1212知2－讲如图，过两点（0,0），（1，）画直线，得y=x的图象；过两点（0,0），（1,1）画直线，得y=x的图象；过两点（0,0），（1,3）画直线，得y=3x的图象.1212知2－讲例2在同一直角坐标系中，画出函数y＝5x，y＝x的图象解：列表：x…01…y＝5x…05…y＝x…01…描点、连线，如图所示知2－讲总结正比例函数y＝kx(k是常数，且k≠0)的图象是一条经过原点及(1，k)的直线，通常作正比例函数的图象是过(0，0)和(1，k)两点画直线，但也可以变通，选点应以便于计算和描点为原则．知2－讲(中考·北海)正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的取值范围是()A．k0B．k0C．k1D．k11知2－练A正比例函数y＝x的大致图象是()2知2－练C已知正比例函数y＝kx(k≠0)，当x＝－1时，y＝－2，则它的图象大致是()3知2－练C3知识点正比例函数的性质学过了上面例1及练习后可以看出，当k取不同的数值时，就确定正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)在坐标系中有不同的位置.你能从中归纳出怎样的规律？知3－讲图象：正比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.性质：当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，y随着x的增大而增大，当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，y随着x的增大而减小．知3－讲例3〈广东珠海〉已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B(－2，y2)，则y1____y2(填“＞”“＜”或“＝”)．＞导引：方法一：把点A，点B的坐标分别代入函数y＝3x，求出y1，y2的值比较大小即可．方法二：画出正比例函数y＝3x的图象，在函数图象上标出点A，点B，利用数形结合思想来比较y1，y2的大小．知3－讲如图，观察图象，显然可得y1＞y2.方法三：根据正比例函数的增减性来比较函数值的大小．根据正比例函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，即可得y1＞y2.知3－讲总结正比例函数的图象上两点的纵坐标的大小与比例系数以及横坐标的大小有关；比例系数是正数时，函数值随自变量的增大而增大；比例系数是负数时，函数值随自变量的增大而减小．知3－讲总结本例的解法中，方法一是用求值比较法；方法二是利用数形结合思想，用“形”上的点的纵坐标位置来比较“数”的大小；方法三是利用函数的增减性来比较大小．知3－讲例4已知正比例函数y＝k1x与y＝k2x的图象如图，比较k1与k2的大小．导引：两个函数的自变量取相同的数值，当所取的数是正数时，比较两个函数值的大小即可得k1、k2的大小．知3－讲解：在正比例函数y＝k1x图象位于第一象限的射线上取一点A，设点A的坐标是(a，k1a)，过点A引x轴的垂线交正比例函数y＝k2x的图象于一点B，x轴上的垂足是H，所以点B的坐标是(a，k2a)，由于k1a＞k2a，且a＞0，因此k1＞k2.知3－讲总结利用正比例函数的图象比较比例系数的大小，可以在一条直线上取一点A，通常使得这点的横坐标是1，过这点引x轴的垂线，交另一直线于一点B，比较两点纵坐标的大小即可．知3－讲例5若正比例函数y＝(3k－5)x及y＝(5k－3)x的图象如图所示，则k的取值范围是________．导引：由正比例函数的图象及性质知：3k－5＜0，即k＜；5k－3＞0，即k＞.综合两个不等式的解集，得＜k＜.533553k533535总结(1)由正比例函数的性质y随x的增大而增大或减小，可以判断比例系数的符号，当y随x的增大而增大时，比例系数k大于0，反之比例系数k小于0；(2)由正比例函数的图象过一、三象限还是过二、四象限可以判断比例系数的符号，当直线过一、三象限时，k＞0，当直线过二、四象限时，k＜0.知3－讲关于函数y＝－2x，下列判断正确的是()A．图象经过第一、三象限B．y随x的增大而增大C．若(x1，y1)，(x2，y2)是该函数图象上的两点，则当x1x2时，y1y2D．不论x为何值，总有y01知3－练C一次函数和正比例函数：一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数．特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数．说明：(1)正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包括正比例函数；(2)判断一个函数是否是一次函数，必须将其化成最简形式．画正比例函数图象的技巧：(1)由于两点确定一条直线，因此画正比例函数y＝kx(k≠0)的图象时，我们一般选(0，0)和(1，k)这两点．(2)列表时，点(x，y)可任意选取适合y＝kx的点，但为方便描点，坐标通常取整数．注意：有些图象根据自变量取值范围的不同而有所变化，或是一条射线，或是一条线段，或是直线上的一些点．例如正比例函数y＝2x(x≥0)的图象是一条射线．