材料力学(刘鸿文)第三章-扭转

§3–1扭转的概念和实例§3–2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§3–3纯剪切§3–4圆轴扭转时的应力§3–5圆轴扭转时的变形§3–6非圆截面杆扭转的概念§3-1扭转的概念和实例工程实例工程实例工程实例工程实例对称扳手拧紧镙帽扭转变形的受力特点扭转变形的受力特点一组外力偶的作用，且力偶的作用面与杆件的轴线垂直；变形特点：变形特点：任意两横截面绕轴线发生相对转动；轴：工程中以扭转为主要变形的构件。齿轮轴——直接计算一.外力偶矩的计算§3-2、外力偶矩的计算扭矩和扭矩图M=Fd按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功：)N.m(1000PW2MW已知轴转速－n转/分钟输出功率－P千瓦计算：力偶矩Mmin)/r(n2)KW(P60M)(549.9mKNnP60n7355.0min)/r(n2)(P60M马力)mKN(nP024.7二、扭转变形横截面的内力mmmT0mxx扭矩：求扭矩的方法构件扭转变形时，横截面上的内力偶矩；——截面法记作T。0mTmT“T”矢量离开截面为正，反之为负。扭矩的符号规定：右手螺旋法则扭矩图：目的xT扭矩沿杆件轴线各横截面上变化规律的图线。①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置（危险截面）。mm危险面处处是危险面[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。ABCDm2m3m1m41计算外力偶矩nP55.9m11m)(kN78.4nP55.9mm232m)(kN37.6nP55.9m44m)15.9(kNn=300r/min，P1=500kW，P2=150kW，P3=150kW，P4=200kWABCDm2m3m1m42、求扭矩0mT210mmT3220mT43m211T1mkN78.4T1m2m3m1m422T2mkN56.9T2m2m333m4T3mkN37.6mT433、绘制扭矩图mkN569max.TBC段为危险截面;xT4.78KNm9.56KNm6.37KNmABCDm2m3m1m4mkN78.4T1mkN56.9T2mkN337.6T例2:图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？BCAD1传递的外力偶矩)mN(3.318nP549.9MAA)mN(7.63nP549.9MBB),(5.95mNMC),(2.159mNMDB、C、D:2、3、5KWn=300r/minBCADBM1T0MTD3BMCM2T0MMTCB20MTB1DM3T2、求内力)mN(7.63MTB1)mN(2.159MMTCB2)mN(2.159MTD3BCADIIIIIIIIIIII)mN(2.159Tmax在CA段和AD段3、绘出扭矩图：7.632.1592.159TNmBCAD)mN(7.631T)mN(2.1592T)mN(2.1593T4将A、D轮的位置更换)(3.318max,mNMnAD段因此将A、D轮的位置更换不合理。7.632.1593.318TNmBCDA3(1)计算外力偶矩(2)计算扭矩(3)扭矩图练习1作内力图练习2传动轴如图所示，主动轮A输入功率50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为15马力，15马力，20马力,轴的转速为300r/min。试画出轴的扭矩图。ABCD3、已知PA＝20KW，PB＝PC＝6KW，PD＝8KW，转数ｎ＝191转/分，作扭矩图PBPCPDPA4、作扭矩图2KNm2KNm1KNm2KNm3KNm5、轴上作用有均布力偶，轴长为L＝1.2米M0=2KNm/m§3–3纯剪切薄壁圆筒：rm：为平均半径mr101t壁厚一、薄壁圆筒的扭转切应力1、观察圆筒变形纵向线发生了倾斜；①圆筒表面的各圆周线的形状、大小、间距均未改变；②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形;2、观察现象只是绕轴线作了相对转动；表明：当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力；横截面上便只有切于截面的切应力；可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；4、切应力分布规律假设因为筒壁的厚度很小，Ttr2T2mrmrm：薄壁圆筒横截面的平均半径;5、薄壁圆筒的扭转切应力Ttr22m二、切应力互等定理0mz在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现；acddxbdy´´tz切应力互等定理dxtdydytdx且数值相等；两者都垂直于两平面的交线；方向：共同指向或共同背离该交线；Lr三、切应变acdb´´t纯剪切单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，圆筒两端的相对扭转角为φ，圆筒的长度为L，则切应变为使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量γ；rL四、剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切应力与切应变成线形关系；acdb´´tG12EG对各向同性材料有G材料剪切弹性模量，单位：GPa。§3–4圆轴扭转时的应力·强度条件一、等直圆杆扭转实验观察不变量横截面在变形前后都3.纵向线变形后通过变形观察现象1、各圆周线的大小、形状、间距半径仍保持2.轴向保持不变；为直线；保持为平面；无伸缩；仍近似为直线，只是倾斜了一个角度；观察小方格的变化小方格菱形基本假设横截面在变形后大小、半径平面假设仍然保持为平面；形状、间距不变；仍保持为直线；结论横截面：像刚性平面一样，只是绕轴线旋转了一个角度。在此假设的基础上，推倒出的应力与变形计算公式，符合试验结果，且与弹性力学一致二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：tgxdd距圆心为的任一点处的；xdd——扭转角沿长度方向变化率。xdd与点到圆心的距离成正比。xdBB'2.物理关系：GGxddG虎克定律：xddG扭转变形的切应力的分布规律1、任意一点处的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比；2、切应变γρ发生在垂直于半径的平面内，切应力τρ也与半径ρ垂直；3、切应力的方向形成与扭矩同向的顺流；切应力与半径成正比危险点的位置切应力与扭矩同向的顺流T纵向面内切应力3.静力学关系：AdTAAIApd2令xGITpddpGITxddxGddpITAdxddG2AAdxddG2A极惯性矩GIP：抗扭刚度pIT横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式（实心截面）危险点的位置圆截面边缘处；pIRTpmaxITtmaxWTRIWPt令抗扭截面系数讨论仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形条件下的等圆截面杆；AIApd2截面的极惯性矩和抗扭截面系数计算RIWPt公式的适用范围mm4，m4。mm3，m3。AdI2Ap实心圆截面：d2I2D02p32DI4Pd2Ad16DW3t空心圆截面：AdI2Ap)(Dd)dD(3244)1(16DW43t)1(32DI44pd2Add2I2D2d2p实心轴与空心轴Ip与Wt对比空心圆截面的扭转切应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：][max][maxtWT([]称为许用切应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：][maxmaxtWT][maxTWt][maxtWT）（空：实：43311616DDWt1.等截面圆轴：2.阶梯形圆轴：[例1]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子，许用切应力[]=30MPa,试校核其强度。D3=135D2=75D1=70MMnP9.549mm)(kN55.1②：扭矩图③计算并校核切应力强度此轴满足强度要求。][MPa23160701055133max..WTt①计算外力偶矩T=mTxD3=135D2=75D1=70MM例2：已知：P＝7.5kW,n=100r/min，最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。计算外力偶矩实心轴3161671620045m=45mmπ4010..dmax13111640MPaπxxPMMWdTTP＝7.5kW,n=100r/min，最大切应力不得超过40MPa,=0.5。二轴长度相同。75954995497162Nm100..xPMTn空心轴d2＝0.5D2=23mm32461671620046m=46mmπ1-4010..Dmax234221640MPaπ1xxPMMWDTT确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm实心轴d1=45mm长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：28.15.01110461045122332222121＝DdAA例3：已知：P1＝14kW,P2=P3=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。3P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min3113DDnn＝1、计算各轴的功率与转速M1=T1=1114N.mM2=T2=557N.mM3=T3=185.7N.m2、计算各轴的扭矩33311nDnD360r/min＝311ZZn＝16.54MPaPa1070π111416E9-31P1maxWT.69MPa22Pa1050π55716H9-32P2maxWT.98MPa12Pa1053π7.18516C9-33P3maxWT3、计算各轴的横截面上的最大切应力3例4一轴AB传递的功率为，转速轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，如图所示。试计算AC段横截面边缘处的切应力以及CB段横截面上外边缘处的切应力。kW5.7KPminr/360ncm2d，cm3DmN1999550nPmKmN199mT441cm95.732DIP4442cm38.632dDIPMPa5.37Pa105.372DIT61PAC外MPa8.46Pa108.46262DITPCB外（1）计算外力偶矩（2）计算极惯性矩（3）计算应力1、计算抗扭截面模量：)1(D16W43t])2(1[1643DtDD361024.29m2、轴的最大切应力例5某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为T=1500N.m,[]=60MPa。试校核此轴的强度,若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径为多少？1DtmaxWTMPa3.511024.2915006MPa60][所以此轴安全。3、若此轴改为实心轴MPa3.51WTtmax31tD16WmMDx053.0103.511636max,1实心轴的横截面面积为21