105

习题1051按对坐标的曲面积分的定义证明公式dydzzyxPzyxP)],,(),,([21dydzzyxPdydzzyxP)],,(),,(21解证明把分成n块小曲面Si(Si同时又表示第i块小曲面的面积)Si在yOz面上的投影为(Si)yz(iii)是Si上任意取定的一点是各小块曲面的直径的最大值则dydzzyxPzyxP)],,(),,([21yziiiiiiiniSPP))](,(),([lim,2,110yziiiiniyziiiiniSPSP))(,(lim))(,(lim,210,110dydzzyxPdydzzyxP)],,(),,(212当为xOy面内的一个闭区域时曲面积分dxdyzyxR),,(与二重积分有什么关系？解因为z0(xy)Dxy故dxdyzyxRdxdyzyxRxyD),,(),,(当取的是上侧时为正号取的是下侧时为负号3计算下列对坐标的曲面积分(1)zdxdyyx22其中是球面x2y2z2R2的下半部分的下侧解的方程为222yxRzDxyx2y2R于是zdxdyyx22dxdyyxRyxxyD)(2222220222202sincosrdrrRrrdR20052222sin41RdrrrRd71052R(2)ydzdxxdydzzdxdy其中z是柱面x2y21被平面z0及z3所截得的第一卦限内的部分的前侧解在xOy面的投影为零故0zdxdy可表示为21yx(yz)Dyz{(yz)|0y10z3}故3010102221311dyydyydzdydzyxdyzyzD可表示为21xy(zx)Dzx{(zx)|0z30x1}故dzdxxydzdxzxD2130101022131dxxdxxdz因此ydzdxxdydzzdxdy)13(2102dxx2346解法二前侧的法向量为n(2x2y0)单位法向量为)0,,(1)cos,cos,(cos22yxyx由两种曲面积分之间的关系dSzyxydzdxxdydzzdxdy)coscoscos(23)(222222dSdSyxdSyxyyyxxx提示dS表示曲面的面积(3)dxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf]),,([]),,(2[]),,([其中f(xyz)为连续函数是平面xyz1在第四卦限部分的上侧解曲面可表示为z1xy(xy)Dxy{(xy)|0x10yx1}上侧的法向量为n(111)单位法向量为)31,31,31()cos,cos,(cos由两类曲面积分之间的联系可得dxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf]),,([]),,(2[]),,([dSzfyfxf]cos)(cos)2(cos)[(dSzfyfxf]31)()31()2(31)(2131)(31dxdydSdSzyxxyD(4)yzdzdxxydydzxzdxdy其中是平面x0y0z0xyz1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧解1234其中1x0Dyz0y10z1y2y0Dzx0z10x1z3z0Dxy0x10y1x4z1xyDxy0x10y1x于是4321xzdxdyxzdxdy4000dxdyyxxxyD)1(1010241)1(xdyyxxdx由积分变元的轮换对称性可知241yzdzdxxydydz因此812413yzdzdxxydydzxzdxdy解1234其中1、2、3是位于坐标面上的三块4z1xyDxy0x10y1x显然在1、2、3上的曲面积分均为零于是yzdzdxxydydzxzdxdyyzdzdxxydydzxzdxdy4dSxzyzxy)coscoscos(4dSxzyzxy)(3481)]1)(([3dxdyyxyxxyxyD4把对坐标的曲面积分dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(化成对面积的曲面积分(1)为平面63223zyx在第一卦限的部分的上侧解令63223),,(zyxzyxF上侧的法向量为)32,2,3(),,(zyxFFFn单位法向量为)32,2,3(51)cos,cos,(cos于是RdxdyQdzdxPdydzdSRQP)coscoscos(dSRQP)3223(51(2)是抛物面z8(x2y2)在xOy面上方的部分的上侧解令F(xyz)zx2y28上侧的法向量n(FxFyFz)(2x2y1)单位法向量为)1,2,2(4411)cos,cos,(cos22yxyx于是RdxdyQdzdxPdydzdSRQP)coscoscos(dSRyQxPyx)22(441122