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习题211设物体绕定轴旋转在时间间隔[0t]内转过的角度为从而转角是t的函数(t)如果旋转是匀速的那么称t为该物体旋转的角速度如果旋转是非匀速的应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？解在时间间隔[t0t0t]内的平均角速度为ttttt)()(00故t0时刻的角速度为)()()(limlimlim000000ttttttttt2当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却若物体的温度T与时间t的函数关系为TT(t)应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？解物体在时间间隔[t0t0t]内温度的改变量为TT(tt)T(t)平均冷却速度为ttTttTtT)()(故物体在时刻t的冷却速度为)()()(limlim00tTttTttTtTtt3设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元此函数f(x)称为成本函数成本函数f(x)的导数f(x)在经济学中称为边际成本试说明边际成本f(x)的实际意义解f(xx)f(x)表示当产量由x改变到xx时成本的改变量xxfxxf)()(表示当产量由x改变到xx时单位产量的成本xxfxxfxfx)()(lim)(0表示当产量为x时单位产量的成本4设f(x)10x2试按定义求f(1)解xxxfxffxx2200)1(10)1(10lim)1()1(lim)1(20)2(lim102lim10020xxxxxx5证明(cosx)sinx解xxxxxxcos)cos(lim)(cos0xxxxx2sin)2sin(2lim0xxxxxxsin]22sin)2sin([lim06下列各题中均假定f(x0)存在按照导数定义观察下列极限指出A表示什么(1)Axxfxxfx)()(lim000解xxfxxfAx)()(lim000)()()(lim0000xfxxfxxfx(2)Axxfx)(lim0其中f(0)0且f(0)存在解)0()0()0(lim)(lim00fxfxfxxfAxx(3)Ahhxfhxfh)()(lim000解hhxfhxfAh)()(lim000hxfhxfxfhxfh)]()([)]()([lim00000hxfhxfhxfhxfhh)()(lim)()(lim000000f(x0)[f(x0)]2f(x0)7求下列函数的导数(1)yx4(2)32xy(3)yx16(4)xy1(5)21xy(6)53xxy(7)5322xxxy解(1)y(x4)4x414x3(2)3113232323232)()(xxxxy(3)y(x16)16x16116x06(4)23121212121)()1(xxxxy(5)3222)()1(xxxy(6)511151651653516516)()(xxxxxy(7)651616153226161)()(xxxxxxy8已知物体的运动规律为st3(m)求这物体在t2秒(s)时的速度解v(s)3t2v|t212(米/秒)9如果f(x)为偶函数且f(0)存在证明f(0)0证明当f(x)为偶函数时f(x)f(x)所以)0(0)0()(lim0)0()(lim0)0()(lim)0(000fxfxfxfxfxfxffxxx从而有2f(0)0即f(0)010求曲线ysinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率32xx解因为ycosx所以斜率分别为2132cos1k1cos2k11求曲线ycosx上点)21,3(处的切线方程和法线方程式解ysinx233sin3xy故在点)21,3(处切线方程为)3(2321xy法线方程为)3(3221xy12求曲线yex在点(01)处的切线方程解yexy|x01故在(01)处的切线方程为y11(x0)即yx113在抛物线yx2上取横坐标为x11及x23的两点作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解y2x割线斜率为421913)1()3(yyk令2x4得x2因此抛物线yx2上点(24)处的切线平行于这条割线14讨论下列函数在x0处的连续性与可导性(1)y|sinx|(2)0001sin2xxxxy解(1)因为y(0)00)sin(lim|sin|limlim000xxyxxx0sinlim|sin|limlim000xxyxxx所以函数在x0处连续又因为1sinlim0|0sin||sin|lim0)0()(lim)0(000xxxxxyxyyxxx1sinlim0|0sin||sin|lim0)0()(lim)0(000xxxxxyxyyxxx而y(0)y(0)所以函数在x0处不可导解因为01sinlim)(lim200xxxyxx又y(0)0所以函数在x0处连续又因为01sinlim01sinlim0)0()(lim0200xxxxxxyxyxxx所以函数在点x0处可导且y(0)015设函数11)(2xbaxxxxf为了使函数f(x)在x1处连续且可导ab应取什么值？解因为1lim)(lim211xxfxxbabaxxfxx)(lim)(lim11f(1)ab所以要使函数在x1处连续必须ab1又因为当ab1时211lim)1(21xxfxaxxaxbaxaxbaxfxxx1)1(lim11)1(lim11lim)1(111所以要使函数在x1处可导必须a2此时b116已知00)(2xxxxxf求f(0)及f(0)又f(0)是否存在？解因为f(0)10lim)0()(lim00xxxfxfxxf(0)00lim)0()(lim200xxxfxfxx而f(0)f(0)所以f(0)不存在17已知f(x)00sinxxxx求f(x)解当x0时f(x)sinxf(x)cosx当x0时f(x)xf(x)1因为f(0)10sinlim)0()(lim00xxxfxfxxf(0)10lim)0()(lim00xxxfxfxx所以f(0)1从而f(x)010cosxxx18证明双曲线xya2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2解由xya2得xay222xayk设(x0y0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为)(02020xxxayy令y0并注意x0y0a2解得0022002xxaxyx为切线在x轴上的距令x0并注意x0y0a2解得00022yyxay为切线在y轴上的距此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为200002||2|2||2|21ayxyxS