4无穷级数和微分方程

1.4无穷级数1.4.1数项级数1.4.2幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.4.3傅立叶级数求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。1.4.1数项级数给定一个数列,,,,,321nuuuu将各项依,1nnu即称上式为无穷级数，其中第n项nu叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和。1.数项级数定义2.基本性质,1nnuS1nnv)(1nnnvu性质1.若级数收敛于S,,1nnuS则各项乘以常数c所得级数也收敛,即其和为cS.性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为.S说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu必发散.但若二级数都发散,不一定发散.(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质5：设收敛级数则必有可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.等比级数时当1qpppn131211(又称几何级数)(q称为公比).级数收敛,;1qa级数发散.其和为3.几个重要级数的收敛性调和级数发散(常数p0)p-级数发散。收敛，当11pp*例1.判断级数的敛散性:.,21211收敛的等比级数是qnn解:该级数是下列两级数之差故原级数收敛..,31311收敛的等比级数是qnn(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k0),4.审敛法正项级数：的敛散性。判别级数例1)1(12nnn(比较审敛法的极限形式),limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0l∞时,的敛散性.n1例3.判别级数1211lnnn解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nn)1ln(21n～21n2n211lnn221)11ln(nnnlim比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且,lim1nnnuu则(1)当1(2)当1时,级数收敛;或时,级数发散..根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项,limnnnu级数,且则时上述定理失效。注：1nnnuu1limlimn12)1(nennen2211limnnen11e因此级数12nnen收敛...412的敛散性判别级数例nnen解:交错级数则各项符号正负相间的级数称为交错级数.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数;),2,1()11nuunn,0lim)2nnunnnu11)1(收敛。,,2,1,0nun设绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数绝对收敛；则称原级数条件收敛.绝对收敛的级数一定收敛.例5.证明下列级数绝对收敛:证:,1sin44nnn而141nn收敛,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛.判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛ox发散发散收敛收敛发散1.Abel定理若幂级数0nnnxa则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式1.4.2幂级数*例6.已知幂级数0nnnxa在3x处收敛，则该级数在1x处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理，该幂级数在3x处绝对收敛，故在1x绝对收敛。例7.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为若的系数满足;1R;R.0R1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,则的收敛半径为1limnnnaaR2.求收敛半径对端点x=－1,1limnnnaaR的收敛半径及收敛域.解:11nn1对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散..]1,1(故收敛域为例8..求幂级数limn3.求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形（如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围(P34例1-37)x11nxxx321)1,1(xe!!212nxxxn),(xsin)!12()1(!5!3121253nxxxxnn),()1ln(x1)1(32132nxxxxnn]1,1(1.求傅立叶级数展开式2.求某个傅立叶系数3.求和函数在某些点的值1.4.3傅立叶级数的有关问题例9.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为xxxf0,10,1)((3)将f(x)展成傅里叶级数.oyx11的值。求)(),23(),2(),0()1(SSSS.)2(3b求解:1)23(,1)2(),()(,)1(SSxfxSkx当0)()0(,02)1(1)(,SSxSkx当(3)先求傅里叶系数00dcos11dcos)1(1xnxxnx),2,1,0(0n00d3sin11d3sin)1(1xxxx3400dsin11dsin)1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn)1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin4)(x3sin31xkk)12sin(121),2,,0,(xx1.5微分方程1.5.1微分方程的基本概念1.5.2解微分方程1.5.3微分方程应用1.5.1微分方程的基本概念020406080100第一季度第三季度东部西部北部一阶微分方程yxyx2)1(2二阶微分方程1.判定微分方程的阶2.判定函数是否微分方程的解，通解或特解例1.验证函数是微分方程的解.解:)cossin(212tkCtkCktkCtkCxsincos21是方程的解.),(21为常数CC1.5.2解微分方程1.一阶微分方程可分离变量，一阶线性2.高阶微分方程二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。*例2.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得Cxylnln3即(C为任意常数)因此可能增、减解..sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx解*例3.利用一阶线性方程的通解公式得：例4.曲线族cxy22所满足的一阶微分方程是____.解:对cxy22两边求导，得cyy22代入上式，得将xyc22xyyy2222yyxy即为所求一阶微分方程),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy2121实根xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx特征根通解二阶线性常系数齐次微分方程求解例5.032yyy求方程的通解.解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为例6.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解:特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22C*例7.的通解.解:特征方程,0522rr特征根:ir212,1因此原方程通解为)2sin2cos(43xCxCeyx例8..32线性方程数齐次为一个特解的二阶常系写出以xxey解：因xxey23是一个特解，所以2是特征方程的重根，故特征方程为：0440)2(22rrr所对应微分方程为044yyy(2)若是特征方程的单根特解形式为(3)若是特征方程的重根特解形式为xmexQxy)(*2(1)若不是特征方程的根特解形式为.)(*xQeymx式时，非齐次方程特解形)()(xPexfmx的特解形式.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.特解形式为0,0例9.例10.的特解形式.解:本题,2而特征方程为,0652rr其根为特解形式为xebxbxy210)(*1.5.3微分方程应用1.利用导数几何意义列方程2.利用导数物理意义列方程3.利用牛顿第二定律求所满足的微分方程.*例11.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为QPQxyox解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即02xyy点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,例12.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,然后积分:得)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)1(tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.kmgvt足够大时