公共基础数理化精讲班第一章高等数学十二1534828902116

环球网校学员专用资料第1页/共4页第三节：广义积分1．无穷限的广义积分（1）定义：设函数)(xf在区间),[a上连续，极限)()(limbadxxfbab存在，称此极限值为)(xf在区间),[a上的广义积分，记作)()(lim)(badxxfdxxfbaba此时称广义积分adxxf)(收敛，若)()(limbadxxfbab不存在，则称adxxf)(发散。类似定义：)()(lim)(badxxfdxxfbaab00)()()(dxxfdxxfdxxf0lim()aafxdx0lim()bbfxdx（2）重要结论广义积分1kadxx，当1k时收敛；当1k时发散。【例题5-17】02dxxex等于:(A)41(B)21(C)41(D)4解:02dxxex=414121212102020202xxxxedxexexde,故应选(C).【例5-18】若211Adxx，则常数A等于：A.1B.2C.2D.解：2arctan11AdxAxAx，所以1A。答案：A环球网校学员专用资料第2页/共4页2．无界函数的广义积分（1）定义：设函数)(xf在区间],[ba上连续，而在点a的右邻域内无界。取,0如果极限)()(lim0badxxfba存在，称此极限值为)(xf在区间],[ba上的广义积分，记作)()(lim)(0badxxfdxxfbaba此时称广义积分badxxf)(收敛，若)()(lim0badxxfba不存在，则称badxxf)(发散。类似可定义右瑕点和中间瑕点的广义积分。由定义知，广义积分的计算可通过定积分以及极限来得到。（2）结论广义积分1()bkadxxa，当1k时收敛；当1k时发散。【例5-19】下列广义积分中收敛的是:(A)1201dxx(B)2012dxx(C)0xedx(D)1lnxdx解:因为2012dxx=222220x,该广义积分收敛，故应选(B).1102011dxxx，00xxedxe，1lnxdx其它三项广义积分都发散。第四节：定积分的应用1.平面图形的面积环球网校学员专用资料第3页/共4页利用定积分几何意义求平面图形的面积由曲线)(xfy,x轴及直线ax、)(babx所围成的曲边梯形的面积为babadxxfdxyA|)(|||由曲线)()(21xfyxfy、及直线)(,babxax所围平面图形的面积为：dxxfxfAba|)()(|12【例题5-20】在区间]2,0[上,曲线xysin与xycos之间所围图形的面积是:(A)4)cos(sindxxx(B)454)cos(sindxxx(C)20)cos(sindxxx(D)450)cos(sindxxx解：由下图可知,曲线xysin与xycos在]45,4[上围成封闭图形，故应选(B).2.旋转体的体积环球网校学员专用资料第4页/共4页曲边梯形0()axbyyx，)绕x轴旋转所生成的旋转体的体积为baxdxxyV)(2曲边梯形0()cydxxy，绕y轴旋转所生成的旋转体的体积为：dcydyyxV)(2【例题5-21】抛物线24yx与直线3x所围成的平面图形绕ox轴旋转一周形成的旋转体体积是:(A)304xdx(B)320(4)xdx(C)304xdx(D)304xdx解：画出抛物线24yx与直线3x所围成的平面图，知所求旋转体体积为33200(2)4Vxdxxdx【例题5-22】曲线(0)xyex与直线0,0xy所围图形绕ox轴旋转一周所得旋转体的体积为:(A)2(B)(C)3(D)4解：所求旋转体积为202xVedx，应选(A)。