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环球网校学员专用资料第1页/共5页第9章微分方程第一节一阶微分方程1.微分方程的基本概念(1)含有自变量、未知函数及其导数(或微分)的方程称为微分方程。如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,则称它为常微分方程,简称微分方程。(2)微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶数。(3)满足微分方程的函数称为微分方程的解。微分方程的解可以是显函数,也可能是隐函数。含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同的解称为微分方程的通解,不包含任意常数的解称为微分方程的特解。(4)初始条件:用于确定微分方程通解中任意常数的条件。例如00xxyy、01xxyy是二阶微分方程的初始条件,由初始条件确定任意常数,可得到相应的特解。【例题9-1】微分方程31dydxxyy是:A.齐次微分方程B.可分离变量的微分方程C.一阶线性微分方程D.二阶微分方程解析:将所给微分方程改写为3dxxyydy,这是x关于y的一阶线性微分方程,答案:C【例题9-2】函数21xCyCe12(,CC为任意常数)是微分方程20yyy的:(A)通解(B)特解(C)不是解(D)解,即不是通解,又不是特解解:因22211331()xCCCxxyCeCeeCeCCe,将xye代入方程满足,故是解,又3xyCe只含有一个任意常数,故即不是通解,也不是特解。答案:D【例题9-3】下列函数中不是方程20yyy的解的函数是:(A)2xxe环球网校学员专用资料第2页/共5页(B)xe(C)xxe(D)(2)xxe解:将2xyxe代入方程20yyy左边,有2yyy222242(2)20xxxxxxxexexexexexee,故2xxe不是方程的解,可以验证其它三个选项中的函数都是方程的解,应选A。2.分离变量的方程形如)()(ygxfdxdy(或)()()(211xfdxygxf)0)(2dyyg的方程叫作可分离变量的方程。可分离变量方程的求解分为两步:(1)分离变量dxxfdyyg)()(1(2)两端积分1()()dyfxdxgy若)(),(ygxf的原函数为)(),(xGxF,则方程的通解为CxFyG)()((C为任意常数)。【例题9-4】微分方程0)1()21(2dyxxdxy的通解是:(A)2112xCy(B)2(1)(12)xyC(C)22(12)1Cyx(D)22(1)(12)xyC解:分离变量21112xdxdyxy,两边积分21112xdxdyxy,得2111ln(1)ln12ln222xyC,整理得2(1)(12)xyC,应选(B)。【例题9-5】微分方程cos(1)sin0xydxeydy满足初始条件03xy的特解是:(A)1cos(1)4xye环球网校学员专用资料第3页/共5页(B)cos(1)xye(C)cos4(1)xye(D)2cos1xye解:分离变量,得1sin1cosxydxdyey,两边积分得通解1cosxeCy,再代入初始条件,得4C,应选(A).【例题9-6】设0()2()4xftdtfx,且(0)2f,则()fx是:(A)2xe(B)12xe(C)22xe(D)212xe解:对0()2()4xftdtfx两边关于x求导,得()2()fxfx,这是可分离变量方程,求解得2()xfxCe,再由(0)2f,得2C,故应选(C)。3.齐次方程形如或可化为()yyx的方程叫做齐次方程。齐次方程的求解是通过变量代换yux(有时也可作xuy),这时yuxu,将原方程化为一个u和x的可分离变量的方程,求解这个方程得到通解,再将yux代入,从而得到原方程的通解。【例题9-7】微分方程tandyyydxxx的通解是:(A)sinyCxx(B)cosyCxx(C)sinyxCx环球网校学员专用资料第4页/共5页(D)sin1yCxx解:这是一阶齐次方程,令yux,原方程化为tanduuxuudx,分离变量得,cos1sinududxux,两边积分得,sinuCx,将xuy代入,得sinyCxx,应选(A).4.一阶线性微分方程(1)形如()()yPxyQx的方程叫做一阶线性方程,若()0Qx叫做一阶线性齐次方程,若()0Qx,叫做一阶线性非齐次方程。一阶线性齐次方程()0yPxy是可分离变量方程,用分离变量法可求得通解()pxdxyCe。齐次方程任两个解的线性组合还是齐次方程的解。一阶线性非齐次方程的两个解的差是对应齐次方程的解。而且非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解y,加上非齐次的一个特解*y,即非齐次方程的通解*yy+y。(2)一阶线性非齐次方程求解方法:1)公式法:将方程中的()Px和()Qx直接代入公式()()(())pxdxpxdxyeQxedxC,求积分可得通解。2)常数变易法:先用分离变量法求对应线性齐次方程0)('yxPy的通解()pxdxyCe,再令()()pxdxyuxe代入非齐次方程,要求两边相等,确定函数()ux,从而得到非齐次方程的通解。【例题9-8】已知微分方程()()(()0)ypxyqxqx有两个不同的解12(),(),yxyxC为任意常数,则该微分方程的通解是:(A)12()yCyy(B)12()yCyy(C)112()yyCyy(D)112()yyCyy解:因为非齐次方程的两个解的差是对应齐次的解,故12()yy是对应齐次的解,12()Cyy是对环球网校学员专用资料第5页/共5页应齐次的通解。又非齐次方程的通解等于对应齐次的通解加上非齐次的一个特解,故112()yyCyy是微分方程()()(()0)ypxyqxqx的通解,应选D.【例题9-9】微分方程22xxyyxe通解y等于:(A)21()2xxeC(B)2()xxeC(C)221()2xxxeC(D)22xxeC()()(())PxdxPxdxyeQxedxC解:将方程化为21xyyxex,这是一阶线性非齐次方程,且21(),()xPxQxxex,代入公式()()(())PxdxPxdxyeQxedxC,经计算得21()2xyxeC。答案:A
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