向量代数与空间解析几何空间曲线及其方程

第六节空间曲线及其方程第七章一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答⎩⎨⎧==0),,(0),,(zyxGzyxF空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、主要内容(一)空间曲线的一般方程xozy1S2SC区间—Ittzztyytxx∈⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(当给定1tt=时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.空间曲线的参数方程(二)空间曲线的参数方程且称∑为⎩⎨⎧==0),,(0),,(zyxGzyxF设空间曲线C的一般方程：的交线Cxoy为曲线C在xOy面上的投影(曲线),曲线C关于xOy面的投影柱面.(三)空间曲线在坐标面上的投影1.定义以C为准线，作母线平行于z轴的柱面∑，则称∑与xOy面OxyzCxoy∑C⎩⎨⎧==0),(0),,(yxHzyxF⎩⎨⎧==0),,(0),,(zyxGzyxFC：2.确定投影曲线Cxoy的方法消去z上，：0),(=yxH在曲面曲线Σ′C轴的柱面正是母线平行而zΣ′∴曲线C关于的投影柱面xOyΣ′.⊆ΣoxyzOCxoy∑Σ′C⎩⎨⎧==′00),(zyxHCxoy：若设.xoyxoyCC′⊆则有特别地，当Cxoy为闭曲线时，.xoyxoyCC′=如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面类似地，可求C在yOz面上的投影Cyoz:⎩⎨⎧==0),,(0),,(zyxGzyxF消去x⎩⎨⎧==0),(0),,(zyRzyxF⎩⎨⎧==′⊆0),(0:zyRxCCyozyoz则C在zOx面上的投影Czox:⎩⎨⎧==0),,(0),,(zyxGzyxF消去y⎩⎨⎧==0),,(0),(zyxGzxT⎩⎨⎧==′⊆00),(:yzxTCCzoxzox则空间立体曲面(四)空间立体或曲面在坐标面上的投影1.空间立体Ω(或曲面∑)在坐标面上的投影(区域):Ω(或∑)上的所有点在该坐标面上的投影点的集合.2.简单曲面：若过曲面∑在xOy面上的投影区域Dxy内任一点，作平行于z轴的直线，该直线与∑只有一个交点，则称曲面∑是关于xOy面的简单曲面.如：曲面222yxz−−=关于xOy面是简单曲面，但关于yOz面，zOx面均不是简单曲面.3.确定空间立体Ω在坐标面上投影区域的方法：以xoy面为例.将Ω看成由一些关于xOy面的简单曲面及母线平行于z轴的柱面所围成的立体，则这些简单曲面的交线在xOy面上的投影曲线与柱面和xOy面的交线所围成的区域，便是所求的投影区域Dxy.(五)一元向量值函数1.基本概念Ittrr∈=),(rr空间曲线的向量形式.,)()()()(,为区间其中Iktzjtyitxtrkzjyixrrrrrrrrr++=++=xozyC)(trrM•)(trrM•)(trr•MxOzyC)(trrM•)(tz••)(tx)(ty•Ittrr∈=),(rr3RRI→⊆确定了从的一个映射，称此映射为一元向量值函数.(1)一元向量值函数xOzyC)(trrM•)(tz••)(tx)(ty•注1°又称曲线C为向量的值函数)(trr矢端曲线.Itjtyitxtr2°在平面坐标系中，向量值函数∈+=,)()()(rrr表示一条平面曲线.(2)向量值函数的极限的某邻域内有定义，在点设向量值函数0)(ttrr，使若存在常向量0rr,0)(lim00=−→rtrttrr,)(00rtrttrr的极限为时，向量值函数则称当→.)(lim00rtrttrr=→记作(3)向量值函数在一点连续，则称若)()(lim00trtrttrr=→.)(0连续在向量值函数ttrr(4)向量值函数在一点可导ttrttrtttrtrtttΔ−Δ+=−−→Δ→)()(lim)()(lim000000rrrr若存在，则称向量值函数可导，并称这个极限在0)(ttrr),()(00trttr′rr的导向量，记作在为即.)()(lim)(0000ttrttrtrtΔ−Δ+=′→Δrrr2.重要结论,)()()()(ktzjtyitxtrrrrr++=设则(1)00)(rtrttrr的极限存在且为时，当→.0000kzjyixrrrrr++=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===→→→000)(lim)(lim)(lim000ztzytyxtxtttttt的充要条件是连续在向量值函数0)()2(ttrr.)(),(),(0处连续均在ttztytx可导在向量值函数0)()3(ttrr处可导，且均在0)(),(),(ttztytx.)()()()(0000ktzjtyitxtrrrrr′+′+′=′的充要条件是的充要条件是3.导向量的几何意义，则可导，且在若向量值函数0)()(00rrr≠′trttr的)(trr矢端曲线C在.)(0的终点处存在切线trrxozyC:)(0tr′r量，的终点处切线的方向向在曲线)(0trCr其指向与参数t增大时曲线C上的点移动的方向一致.)(0trr)(0ttrΔ+rrrΔ)(0tr′r4.导向量的物理意义为时间，则，其中的运动方程为设质点ttrrM)(rr=)()(00tvtrvr=′.0时刻运动的速度向量即为质点在t二、典型例题例1方程组表示怎样的曲线？⎩⎨⎧=++=+6332122zyxyx解122=+yx6332表示圆柱面，=++zyx表示平面，⎩⎨⎧=++=+6332122zyxyx交线为椭圆.方程组表示怎样的曲线？⎪⎩⎪⎨⎧=+−−−=4)2(222222ayaxyxaz解222yxaz−−=上半球面,4)2(222ayax=+−圆柱面,交线如图.例2动点从A点出发，取时间t为参数，例3如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中ω，v都是常数)，那么点M的几何轨迹称为圆柱螺旋线，试建立其参数方程.M在xOy面上的投影为M'(x,y,0).解经过t时间，运动到M点.OxyzM′A(a,0,0)M(x,y,z)taxωcos=tayωsin=vtz=螺旋线的参数方程或⎪⎩⎪⎨⎧===θθθbzayaxsincos),(ωωθvbt==螺旋线的重要性质：,:00αθθθ+→,:00αθθbbbz+→上升的高度与转过的角度成正比，即上升的高度π=bh2螺距α,2π=例4zyxC1o⎩⎨⎧==−+002222zyyx⎩⎨⎧=−+−+=++1)1()1(1:222222zyxzyxC在xOy面上的投影曲线方程为求曲线在坐标面上的投影.⎪⎩⎪⎨⎧==++211222zzyx解（1）在xoy面，在面上的投影为xoy⎪⎩⎪⎨⎧==+04322zyx⎪⎩⎪⎨⎧==++211222zzyx消去z⎪⎩⎪⎨⎧==+214322zyx例5所以在zOx面上的投影Czox为线段：23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==xyz（2）在zOx面上21=z中，在⎪⎩⎪⎨⎧==++211222zzyxQ:zoxzoxCC(不含y)是母线平行于y轴的柱面′⊆∴⎪⎩⎪⎨⎧==021yz投影柱面（3）同理在面上的投影Cyoz也为线段:yOz.23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==yxz例6求曲线C：⎩⎨⎧=−−=1222zyxz在各坐标面上的投影.解（1）在xoy面，在面上的投影为xOy⎩⎨⎧==+0122zyx消去z⎩⎨⎧==+1122zyx⎩⎨⎧=−−=1222zyxzoxyz（2）在yOz面上所以在yOz面上的投影Cyoz为线段：1||,01≤⎩⎨⎧==yxz1=z中，在⎩⎨⎧=−−=1222zyxzQ(不含x)是母线平行于x轴的柱面:yozyozCC′⊆∴⎩⎨⎧==01xz投影柱面（3）同理在zOx面上的投影Czox也为线段:.1||,01≤⎩⎨⎧==xyz求抛物面xzy=+22与平面02=−+zyx的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线C的方程为:⎩⎨⎧=−+=+0222zyxxzy解x如图,yzo例7（2）消去y，得C在zOx面上的投影：（1）消去,0042522⎩⎨⎧==−−+yxxzzx（3）消去x，得C在yOz面上的投影：.00222⎩⎨⎧==−++xzyzyz，得C在xOy面上的投影：,004522⎩⎨⎧==−++zxxyyx.,)(34,2222面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体xoyyxzyxz+=−−=解半球面和锥面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=,)(3,4:2222yxzyxzC,122=+yxz得投影柱面消去例8xzyO面上的投影为在则交线xOyC⎩⎨⎧==+.0,122zyx一个圆,:为面上的投影所求立体在xyDxOy∴.122≤+yxxzyO求椭圆抛物面zxy=+222与抛物柱面zx=−22的交线关于xoy面的投影柱面和在xoy面上的投影曲线方程.三、同步练习,22222⎩⎨⎧=−=+zxzxy消去z得投影柱面,122=交线方程为+yx在面上的投影为xoy.0122⎩⎨⎧==+zyx四、同步练习解答