总习题二

总习题二1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的____________条件f(x)在点x0连续是f(x)在点x0可导的____________条件(2)f(x)在点x0的左导数f(x0)及右导数f(x0)都存在且相等是f(x)在点x0可导的_______条件(3)f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的____________条件解(1)充分必要(2)充分必要(3)充分必要2选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x)在xa的某个邻域内有定义则f(x)在xa处可导的一个充分条件是()(A))]()1([limafhafhh存在(B)hhafhafh)()2(lim0存在(C)hhafhafh2)()(lim0存在(D)hhafafh)()(lim0存在解正确结论是D提示xafxafhafhafhhafafxhh)()(lim)()(lim)()(lim000(xh).3设有一根细棒取棒的一端作为原点棒上任一点的做标x为于是分布在区间[0x]上细棒的质量m是x的函数mm(x)应怎样确定细棒在点x0处的线密度(对于均匀细棒来说单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度？解mm(x0x)m(x0)在区间[x0x0x]上的平均线密度为xxmxxmxm)()(00于是在点x0处的线密度为)()()(limlim00000xmxxmxxmxmxx4根据导数的定义求xxf1)(的导数解20001)(1lim)(lim11limxxxxxxxxxxxxxyxxx5求下列函数f(x)的f(0)及f(0)又f(0)是否存在?(1)0)1ln(0sin)(xxxxxf(2)0001)(1xxexxfx解(1)因为10sinlim0)0()(lim)0(00xxxfxffxx1ln)1ln(lim0)1ln(lim0)0()(lim)0(1000exxxxfxffxxxx而且f(0)f(0)所以f(0)存在且f(0)1(2)因为111lim001lim0)0()(lim)0(10100xxxxxexexxfxff011lim001lim0)0()(lim)0(10100xxxxxexexxfxff而f(0)f(0)所以f(0)不存在6讨论函数0001sin)(xxxxxf在x0处的连续性与可导性解因为f(0)0)0(01sinlim)(lim00fxxxfxx所以f(x)在x0处连续因为极限xxxxxfxfxxx1sinlim01sinlim)0()(lim000不存在所以f(x)在x0处不可导7求下列函数的导数(1)yarcsin(sinx)(2)xxy11arctan(3)xxxytanlncos2tanln(4))1ln(2xxeey(5)xxy(x0)解(1)|cos|coscossin11)(sinsin1122xxxxxxy(2)222211)1()1()1()11(11)11()11(11xxxxxxxxxxy(3))(tantan1costanlnsin)2(tan2tan1xxxxxxxyxxxxxxxxxtanlnsinsectan1costanlnsin212sec2tan122(4)xxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeey2222221)122(11)1(11(5)xxyln1lnxxxxyy11ln112)ln1()1ln1(222xxxxxxxyxx8求下列函数的二阶导数(1)ycos2xlnx(2)21xxy解(1)xxxxxxxxxy1cosln2sin1coslnsincos222221cos1sincos212sinln2cos2xxxxxxxxxy22cos2sin2ln2cos2xxxxxx(2)232222)1(111xxxxxxy52252)1(3)2()1(23xxxxy9求下列函数的n阶导数(1)mxy1(2)xxy11解(1)mmxxy1)1(111)1(1mxmy21)1)(11(1mxmmy31)1)(21)(11(1mxmmmynmnxnmmmmy1)()1)(11()21)(11(1(2)1)1(2111xxxyy2(1)(1x)2y2(1)(2)(1x)3y2(1)(2)(3)(1x)41)1()()1(!)1(2)1)(()3)(2)(1(2nnnnxnxny10设函数yy(x)由方程eyxye所确定求y(0)解方程两边求导得eyyyxy0——(1)于是yexyy2)()1()()(yyyyexyeyexyexyy——(2)当x0时由原方程得y(0)1由(1)式得ey1)0(由(2)式得21)0(ey11求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dxdy及二阶导数22dxyd(1)33sincosayax(2)tytxarctan1ln2解(1)tan)sin(cos3cossin3)cos()sin(2233aaaadxdycscsec31sincos3sec)cos()tan(422322aaadxyd(2)ttttttdxdy1111]1[ln)(arctan2223222222111]1[ln)1(tttttttdxyd12求曲线tteyex2在t=0相的点处的切线方程及法线方程解ttttteeeeedxdy2212)2()(当t0时21dxdyx2y1所求切线的方程为)2(211xy即x2y40所求法线的方程为y12(x2)13甲船以6km/h的速率向东行驶乙船以8km/h的速率向南行驶在中午十二点正乙船位于甲船之北16km处问下午一点正两船相离的速率为多少?解设从中午十二点开始经过t小时两船之间的距离为S则有S2(168t)2(6t)2ttdtdSS72)816(162SttdtdS272)816(16当t1时S108.220721281tdtdS(km/h)即下午一点正两船相离的速度为28km/h14利用函数的微分代替函数的增量求302.1的近似值解设3)(xxf则有xxffxf31)1()1()1(或xxf311)1(于是007.102.031102.0102.13315已知单摆的振动周期glT2其中g980cm/s2l为摆长(单位为cm)设原摆长为20cm为使周期T增大005s摆长约需加长多少？解因为LgLdTT所以23.205.020LgLL(cm)即摆长约需加长223cm