概率论与数理统计

11.6概率与数理统计1.6.1概率论的基本概念2随机试验:概率论里所研究的试验有下列特点:(1)在相同的条件下试验可以重复进行;(2)每次试验的结果具有多种可能性,而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果;(3)在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果1.6.1概率论的基本概念1.随机事件3样本空间:给定一个试验,所有可能的结果的全体构成一个集合,这个集合称作样本空间,用大写的希腊字母表示,这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个样本点,可以用小写的希腊字母表示.随机事件:随机事件就是样本空间的子集,或者说事件就是试验结果的集合,通常用大写英文字母A,B,C,…等表示.4几个特殊的事件基本事件:只包括一个样本点,或者说一个试验结果的事件称为基本事件.必然事件:包括整个样本空间的所有元素的事件,或者就用表示,则每次试验必然发生,因此称为必然事件.不可能事件:不包括任何元素的空集,即每次试验一定不会发生,称为不可能事件,用表示,则={}.5事件的包含事件的关系事件的相等事件的并(和)事件的交(积)对立事件事件的差互不相容事件6完备事件组若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件,并且A1+A2+…+An=,称构成一个完备事件组或构成一个划分.A1A2A3A4最常用的完备事件组是某事件A与它的逆A7例1掷一颗骰子的试验，观察出现的点数事件A表示奇数点,事件B表示点数小于5,C表示小于5的偶数点.用集合的列举表示法表示下列事件:BAACABABBABACBA,,,,,,,,,8解:={1,2,3,4,5,6}A={1,3,5}B={1,2,3,4}C={2,4}A+B={1,2,3,4,5}AB={5}BA={2,4}AB={1,3}AC=CA={2,4}}6,4,3,2,1{BA9例2从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回),事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3).试用事件的运算符号表示下列事件:三次都取到了合格品;三次中至少有一次取到合格品;三次中恰有两次取到合格品;三次中最多有一次取到合格品.10解:三次全取到合格品:A1A2A3三次中至少有一次取到合格品:A1+A2+A3三次中恰有两次取到合格品:323121AAAAAA321321321AAAAAAAAA三次中至多有一次取到合格品:112.概率给定事件A,存在着一个正数P与之对应,称之为事件A的概率,记作P(A)或P{A}.最高的发生概率为1,表示必然发生.最低的概率为0,表示不可能发生.而一般的随机事件的概率介于0与1之间.123.古典概型有一类试验的特点是:(1)每次试验只有有限种可能的试验结果(2)每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同.具这两个特点的试验称为古典概型试验.在古典概型的试验中,如果总共有n个可能的试验结果,因此每个基本事件发生的概率为1/n,如果事件A包含有m个基本事件,则事件A发生的概率则为m/n.13放回抽样假设一副牌有52张,将它们编号为1,2,…,52.每次抽出一张观察后再放回去(这样下一次这张牌仍有机会被抽到),这叫放回抽样.假设共抽了5次,共有多少种可能的抽法?第一次有52种抽法,在第一次的每一种抽法中,第二次又有52种抽法,…,因此抽5次共有5252525252=525种抽法.一般地,从n个元素中进行m次放回抽样,则共有nm种抽法.14不放回抽样(排列)还是这52张牌,每次抽出一张,但不放回,则第二次抽时只有51张牌,第三次就只有50张牌.如果这样抽5次,就共有5251504948=52!/47!种抽法一般地,从N个元素中抽取n个(nN),共有!,,,)!(!)1()1(NAPnNnNNnNNNANNNnN记作全排列称为即将所有元素排成一列如果种抽法15不放回抽样(组合)如果从N个元素中不放回抽样n个,但不关心其顺序,比如说(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被视作一样,则称为组合,因此,组合的数目要比排列的数目小n!倍,记作!)!(!!nnNNnAnNCnNnN16例3袋内装有5个白球,3个黑球,从中任取两个球,计算取出的两个球都是白球的概率.357.014578212145)(,},{,:282525235CCnmAPCmAACn则基本事件数的则取到两个白球假设事件数组成试验的基本事件总解17例4一批产品共200个,废品有6个,求(1)这批产品的废品率;(2)任取3个恰有一个是废品的概率;(3)任取3个全非废品的概率解设P(A),P(A1),P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所求的概率,则9122.0198199200321321192193194)()3(0855.0198199200321211931946)()2(03.02006)()1(32003194032002194161CCAPCCCAPAP18加法法则两个互不相容(互斥)事件之和的概率等于它们的概率的和.即当AB=时,P(A+B)=P(A)+P(B)实际上,只要P(AB)=0,上式就成立.19如果n个事件A1,A2,…,An互不相容,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)11)()(iiiiAPAPA1A2A3A420若n个事件A1,A2,…,An构成一完备事件组,则它们的概率的和为1,即P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1特别地,两个对立事件概率之和为1,即)(1)(1)()(APAPAPAP经常使用的形式是A1A2A3A4AA21例如掷3次硬币,求至少一次正面朝上的概率.解:假设A={至少一次正面},则A={全是反面},只包含一个基本事件.基本事件总数为23=8,因此经常有一些概率论的较难的题,直接计算某事件的概率困难,因此考虑先求此事件的逆事件的概率87811)(1)(81)(APAPAP则22例5产品有一,二等品及废品3种,若一,二等品率分别为0.63及0.35,求产品的合格率与废品率.解令事件A表示产品为合格品,A1,A2分别表示一,二等品.显然A1与A2互不相容,并且A=A1+A2,则P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.63+0.35=0.9802.098.01)(1)(APAP23例6一个袋内装有大小相同的7个球,4个是白球,3个为黑球.从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.解设事件Ai表示抽到的3个球中有i个白球(i=2,3),显然A2与A3互不相容,且3522)()()(354567234)(351856732132134)(3232373433713242APAPAAPCCAPCCCAP根据加法法则得24定义在事件B已经发生的条件下,事件A发生的概率,称为事件A在给定B下的条件概率,简称为A对B的条件概率,记作P(A|B).相应地,把P(A)称为无条件概率.4.条件概率与乘法法则)()()|(APABPABP25乘法法则两个事件A,B之交的概率等于其中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率,即P(AB)=P(A)P(B|A)(若P(A)0)P(AB)=P(B)P(A|B)(若P(B)0)26例710个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回),甲先,乙次,丙最后,求甲抽到难签,甲,乙都抽到难签,甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲,乙,丙都抽到难签的概率.720248293104)|()|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(104)(ABCPABPAPABCPABPAPBAPABPAPABPnmAP解设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签27全概率定理如果事件A1,A2,…构成一个完备事件组,并且都具有正概率,则对任意一事件B有iiiABPAPBP|)()(用全概率定理来解题的思路,从试验的角度考虑问题,一定是将试验分为两步做,将第一步试验的各个结果分为一些完备事件组A1,A2,…,An,然后在这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件概率,最后用全概率公式综合28贝叶斯定理若A1,A2,…,构成一个完备事件组,并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为零的事件B,有,...)2,1()|()()|()()|(mABPAPABPAPBAPiiimmm贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样,只是要求的是一个条件概率,是在信息论中的重要公式,即在二次试验后,观察者只能看到最后的结果事件B,却要根据B来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率P40例1-4429在使用全概率公式和贝叶斯公式的题型中,关键的一步是要使用一完备事件组,而最常用的完备事件组,是一事件A与它的逆A构成的完备事件组,这时的全概率与贝叶斯公式为,(应在考试前专门将它们记住).)|()()|()()|()()|()|()()|()()|()()|()|()()|()()(ABPAPABPAPABPAPBAPABPAPABPAPABPAPBAPABPAPABPAPBP305.事件的独立性定义如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响,即P(A|B)=P(A),则称事件A对于事件B独立.31由此定义及条件概率P(A|B)的定义有相互独立与因此称事件也独立对于独立则对于而且可以看出如果必要条件独立的充分对于是因此则必有如有反过来因此必有BAABBABABPAPABPAPBPABPBAPBPAPABPBPAPABPAPBPABPBAP,,)()()()()()()|()()()(,)()()()()()()|(32如A与B独立,则.,也相互独立与与同理可知也独立与BABABA33例8甲,乙,丙3部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9,0.8及0.85.求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率.解用事件A,B,C分别表示在这段时间内机床甲,乙,丙不需工人照管.依题意A,B,C相互独立,并且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85则这段时间内有机床需要工人照管的概率为388.085.08.09.01)()()(1)(1)(CPBPAPABCPABCP34而当至少有两部机床需要照管的时候,就有机床因无人照管而停工了,这样的事件是059.015.02.01.0215.02.015.01.02.01.0)()()(2)()()()()()()(2)()()()(CPBPAPCPBPCPAPBPAPCBAPCBPCAPBAPCBCABAPCBCABA因此相应的概率为35按取值情况可将随机变量分为两类:(1)离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值.(2)非离散型随机变量可能取任何实数.而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量.1.6.2一维随机变量及数字特征1.随机变量的概念(p42)362.离散型随机变量的分布37定义如果随机变量x只取有限个或可列个可能值,而且以确定的概率取这些不同的值,则称x为离散性随机变量.为直观起见,将x可能取的值及相应概率列成概率分布表如下xx1x2…xk…Pp1p2…pk…此外,x的概率分布情况也可以用一系列等式表示:P(x=xk)=pk(k=1,2,…)这被称作随机变量x的概率函数(或概率分布)38例9一批产品的废品率为5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量x来描述废品出现的情况.并写出x的分布.解用x表示废品的个数,则它只能取0或1两个值.x=0表示产品为合格,x=1表示产品为废品,则概率分布表如下x01P0.950.05即P