3.2.2-直线的两点式方程

3.2.2直线的两点式方程形式条件直线方程应用范围点斜式直线过点(x0,y0),且斜率为k斜截式在y轴上的截距为b,且斜率为k)(00xxkyybkxy不含与x轴垂直的直线不含与x轴垂直的直线知识回顾：若已知直线经过两点定点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，存在斜率，然后求出直线的斜率，在上一节我们学习了已知直线上一定点P0(x0,y0)和直线的斜率k，可以用点斜式表示直线方程:)(00xxkyy何求直线的方程呢？可根据已知两点的坐标，又如先判断是否也就是说，已知两点坐标也能表示直线方程.利用点斜式求直线方程.这节课我们就来学习用两点坐标来表示直线方程.已知直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),求直线l的方程.xxxxyyyy121121——直线方程的两点式).(112121xxxxyyyy化简为1212xxyyk由点斜式方程得∵2(其中x1≠x2,y1≠y2)若斜率存在，即x1≠x2时xxxxyyyy121121直线方程的两点式：)(2121xxyy且若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1＝y2,此时这两点的直线的方程是什么？l:x=x1l:y=y1完成课本p97练习题第1题.例1直线l与x轴的交点是A(a,0)，与y轴的交点是B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.解：两点，代入两点式，经过直线),0()0,(bBaAl,000aaxby得.1byax即这里a叫做直线在x轴上的截距（横截距），1byax——直线方程的截距式b叫做直线在y轴上的截距（纵坐标）.xyOABl1byax直线方程的截距式：)0,0(ba注意：截距可以取全体实数，但截距式方程中的截距，是指非零的实数，点的直线方程，因此截距式方程不包括过原不包括与坐标轴垂直的直线方程.xyO完成课本p97练习题第2、3题.形式条件方程点斜式直线过定点P(x0,y0)且斜率为k斜截式直线斜率为k且在y轴上的截距为b两点式直线过两定点P1(x1y1),P2(x2,y2)截距式直线在y轴上截距为b,在x轴上的截距为axxxxyyyy1211211byax)(00xxkyybkxy解：,)5(3)5(030xy01583yx故直线AB的方程为例2三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程。直线AB过A(－5，0),B(3，－3)由两点式：即.01583yx直线BC过B(3，－3),C(0，2),由斜截式：20323xy得得235x故直线BC的方程为.0635yx直线AC过A(－5，0),C(0，2)，由截距式：得125yx01052yx即为AC直线的方程.解：变式：三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求(1)BC边上中线所在直线的方程；(2)AB边上高线所在直线的方程；(3)AC边上中垂线所在直线的方程.(1)由已知得，BC边的中点)223,203(M)21,23(M∵BC边上的中线过点A、M,∴BC边上中线所在直线的方程为:52350210xy即.0513yx(2)由AB边上高线过C(0，2)，且垂直于AB,得AB边上高线所在直线的方程:)5(0xky其中1ABkk1ABk解：变式：三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求(1)BC边上中线所在直线的方程；(2)AB边上高线所在直线的方程；(3)AC边上中垂线所在直线的方程.(2)由AB边上高线过C(0，2)，且垂直于AB,故AB边上高线所在直线的方程:)5(380xyABkk1高线的斜率为，38即.04038yx解：变式：三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求(1)BC边上中线所在直线的方程；(2)AB边上高线所在直线的方程；(3)AC边上中垂线所在直线的方程.(3)∵AC边上中垂线过AC边的中点),1,25(N且垂直于AC,ACkk1垂线的斜率为，25∴AC边上中垂线所在直线的方程为：)25(251xy即.021410yxN.2312.5的直线方程为，且斜率是与两坐标轴围成的面积例例6.直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．因此直线l不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0．解法一：由于直线l在两轴上有截距，可设直线方程为)3(2xky，令0x，则23ky，则kx23，令0y由题设可得kk2323.321或kl在y轴上有截距为.23kbl在x轴上有截距为.23ka∴直线l的方程为)3(2xy)3(322xy或或即05yx.032yx。边中线所在直线的方程，求重心的的两个顶点已知例ABGABCBAABC)1,1(),1,2(),0,3(.3解：,,）（设baC1311323ba则有,2,2ba解得.22），（即C,)1,1(GABC的重心又的方程为直线由直线方程的两点式得CE,121121xy.0yxAB为边中线所在的直线方程所以。边中线所在直线的方程，求重心的的两个顶点已知例ABGABCBAABC)1,1(),1,2(),0,3(.3另解：,)21,21(MAB中点边中线所在的直线方程由直线方程的两点式得AB,)21(1)21(21121xy.0yxAB为边中线所在的直线方程所以∵AB边中线过AB边中点M和△ABC的重心，，的重心)1,1(GABC例4.直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．因此直线l不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0．解法一：由于直线l在两轴上有截距，可设直线方程为)3(2xky，令0x，则23ky，则kx23，令0y由题设可得kk2323.321或kl在y轴上有截距为.23kbl在x轴上有截距为.23ka∴直线l的方程为)3(2xy)3(322xy或或即05yx.032yx例4.直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．解法二：1ayax由已知可设直线l方程为)0(a则由直线l经过点(3，2)得123aa.5a∴直线l的方程为.05yx，若0a则直线l经过点(0，0),又直线l经过点(3，2)，xy32∴直线l的方程为.032yx即综上所述直线l的方程为或05yx.032yx，320302lk程。最小时，求此直线的方两坐标轴上的截距之和半轴相交，当直线在）作直线与两坐标轴正，（过点例41.5P解：),0,0(1babyax设直线方程为),4,1(P直线过点141babaabba45abba4259abba4当，达到最小值时，即96,3baba,163yx此时直线的方程为.062yx即)41)((baba，且)0,0(141baba例6.解：),0,0(1babyax设直线方程为则由直线通过点（1，2），得121ba2bbabaSAOB21bbb221)2(22bb)2(b)44(21此时，a=2，142yxl方程为直线4.042yx即方程。并求出此时两条直线的，轴的交点间的距离最小为何值时这两条直线与为锐角），当（角为线中，一条直线的倾斜）的两条互相垂直的直，（过点例yP13.7xyPo解：.tan1)2tan(由.tank令).3(11),3(1xkyxky和可设两条直线的方程为).31,0()31,0(,0kkx和得交点为令|3131|||21kkyy两点间距离为|1|3kk.6时，距离取得最小值，当且仅当||1||kk为锐角，1k此时所求直线为时两交点间距离最小，当045)||1|(|3kk.42xyxy和例6.可设直线l方程为：)1(2xky令，0y得kx21即)021(，kA令，0x得ky2即)20(kB，正方向即.0k解：||||21OBOASAOB)2)(21(21kk)4(212kk，0k，0k)4(212kkSAOBkk4)(2212.4当且仅当，kk4即2k时，.4)(minAOBS故所求直线l方程为：)1(22xy即.042yx解：由已知可设直线l方程为：)1(2xky)0(k令，0y得kx21即)021(，kA令，0x得ky2即)20(kB，.||||21程最小时，求此直线的方交，当半轴相）作直线与两坐标轴正，（过点PBPAP，，又)21(P，11244||22kkPA，1||2kPB1112||||22kkPBPA22122kk2224，221kk当且仅当即1k时，，取最小值4||||PBPA此时所求直线方程为：，)1(2xy即.03yx变式：课堂练习).0,0()5,4()3();0,5()5,0()2();3,0()1,2(1.121DCBAPP、、、）（截式方程：两点式方程，再化成斜求过下列两点的直线的解：202131)1(xy.32xy050505)2(xy2405)3(xy.5xy.45xy小节：xxxxyyyy121121)(2121yyxx且1两点式.1byax2截距式)0,0(ba的方程。，求直线后得到直线点逆时针旋转，把已知直线绕的横坐标是上一点直线例llPPyx090301.4解：,4,013yyxx得代入直线方程把)4,3(P,1k.450，的倾斜角为直线01359045l.1135tanlk即).3(4xyl的方程：由点斜式得直线.07yx即例5求直线的倾斜角的取值范围．023cosyx解：分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于的一个三角不等式即可．由直线的方程323cosxy得斜率3cosk313cosk∵31tan33tan33∴即,0.,656,0