2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-1-第1讲-直线的倾斜角与斜率、直线的方程

知识点最新考纲直线的方程理解平面直角坐标系，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解直线方程与一次函数的关系.两直线的位置关系能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离．圆的方程掌握圆的标准方程与一般方程．直线、圆的位置关系会解决直线与圆的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系．椭圆掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质．会解决直线与椭圆的位置关系的问题．双曲线了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系．抛物线掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质．会解决直线与抛物线的位置关系的问题．曲线与方程了解方程与曲线的对应关系．会求简单的曲线的方程.第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角的范围为[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1＝y1－y2x1－x2.3．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)y－y1＝k(x－x1)不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，bxa＋yb＝1(a≠0，b≠0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√[教材衍化]1．(必修2P86练习T3改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．解析：由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.答案：12．(必修2P100A组T8改编)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________．解析：令x＝0，得y＝k4；令y＝0，得x＝－k3，则有k4－k3＝2，所以k＝－24.答案：－24[易错纠偏](1)由直线方程求斜率的思路不清；(2)忽视斜率和截距对直线位置的影响；(3)忽视直线斜率不存在的情况；(4)忽视截距为0的情况．1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋a＝0的斜率为________．解析：设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°cos150°＝33.答案：332．如果A·C0且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA0，在y轴上的截距－CB0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三3．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－2k，依题意有12×2－2k×2＝2，即1－1k＝1，解得k＝12，所以直线m的方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.答案：x－2y＋2＝0或x＝24．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0直线的倾斜角与斜率(1)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3(2)已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是()A．[－6，6]B.－∞，－66∪66，＋∞C.－∞，－66∪66，＋∞D．以上都不对【解析】(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.(2)设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得yx＋1·yx－1＝3，即y2＝3x2－3.联立x－my＋3m＝0，y2＝3x2－3，得1m2－3x2＋23mx＋6＝0.要使直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝23m2－241m2－3≥0，即m2≥16.所以实数m的取值范围是－∞，－66∪66，＋∞.故选C.【答案】(1)B(2)C(变条件)若本例(1)中直线变为x＋ycosθ－3＝0(θ∈R)，则直线的倾斜角α的取值范围为________．解析：当cosθ＝0时，方程变为x－3＝0，其倾斜角为π2；当cosθ≠0时，由直线的方程，可得斜率k＝－1cosθ.因为cosθ∈[－1，1]且cosθ≠0，所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tanα∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈π4，π2∪π2，3π4，综上知，直线的倾斜角α的取值范围是π4，3π4.答案：π4，3π4(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤①求出斜率k＝tanα的取值范围．②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．[提醒]求倾斜角时要注意斜率是否存在．(2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．1．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈π6，π4∪2π3，π，则k的取值范围是________．解析：当α∈π6，π4时，k＝tanα∈33，1；当α∈2π3，π时，k＝tanα∈[－3，0)．综上k∈[－3，0)∪33，1.答案：[－3，0)∪33，12．若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．解析：由条件知直线的斜率存在，由斜率公式得k＝a－1a＋2.因为倾斜角为锐角，所以k0，解得a1或a－2.答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)求直线的方程(1)过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010的直线方程为________．(2)过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．(3)若直线过点(5，10)，且到原点的距离为5，则该直线的方程为________．【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0＜α＜π)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)．即直线方程为x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)①当直线过原点时，直线方程为y＝－53x；②当直线不过原点时，设直线方程为xa＋y－a＝1，即x－y＝a.代入点(－3，5)，得a＝－8.即直线方程为x－y＋8＝0.综上直线方程为y＝－53x或x－y＋8＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点线距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.【答案】(1)x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0(2)y＝－53x或x－y＋8＝0(3)x－5＝0或3x－4y＋25＝0(1)求直线方程的两种常用方法①直接法：根据已知条件，确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)求直线方程应注意的问题①选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．②求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．1．已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则△ABC的BC边上的高所在的直线方程为()A．x＋y＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0D．x－y＝0解析：选B.因为B(3，1)，C(1，3)，所以kBC＝3－11－3＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A，所以其直线方程为x－y＋2＝0.2．过点M(－1，－2)作一条直线l，使得l夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l的方程为________．解析：由题意，可设所求直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)(k≠0)，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，则A2k－1，0，B(0，k－2)．因为AB的中点为M，所以－2＝2k－1，－4＝k－2，解得k＝－2.所以所求直线l的方程为2x＋y＋4＝0.答案：2x＋y＋4＝0直线方程的综合应用(高频考点)直线方程的综合应用是解析几何的一个基础内容，在高考中常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度为中、低档题目．主要命题角度有：(1)与基本不等式相结合求最值问题；(2)由直线方程解决参数问题．角度一与基本不等式相结合求最值问题(2020·杭州七校联考)直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．【解】依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k0)．令y＝0，可得A1－4k，0；令x＝0，可得B(0，4－k)．|OA|＋|OB|＝1－4k＋(4－k)＝5－k＋4k＝5＋－k＋4－k≥5＋4＝9.所以当且仅当－k＝4－k且k0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0.(变问法)在本例条件下，若|PA|·|PB|最小，求l的方程．解：|PA|·|PB|＝4k2＋16·1＋k2＝－4k(1＋k2)＝41－k＋（－k）≥8(k0)．所以当且仅当1－k＝－k且k0，即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．这时