共形映射

7．1解析函数的特性教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解解析函数的几何理论.重点：保角映射的概念与性质.难点：解析变换的保域性.课时：4课时教学过程：前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理.一．解析函数的保域性.定理7.1(保域定理)设()wfz在区域D内解析且不恒为常数,则D的象()GfD也是一个区域.证明：按区域的定义：要证()GfD是一个连通开集.首先证明G是一个开集即证G的每一个都是内点,设0w是G内的任意一点，则存在0zD，使得00()fzw，由第六章的儒歇定理，必存在0w的一个邻域*0ww.对于其中的任一数wA，函数()fzA在0zz内（0zz是D内的邻域）必有根，即wA，这记0wwG.表明0w是G的内点.由0w的任意性知G是开集其次证明G是连通集.由于D是区域,可在D内部取一条联结12,zz的折线121122:()[,(),()]Czzttttztzztz.于是：12:[()]()wfztttt就是联结12,ww的并且完全含于G的一条曲线.从而,由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结12,ww内接于且完全含于G的折线.从以上两点，表明()GfD是区域.推论7.2设()wfz在区域D内单叶解析,则D的象()GfD也是一个区域.证明：用()fz在区域D内单叶，必()fz在D内不恒为常数.定理7.3设函数()wfz在点0z解析,且'0()0fz,则()fz在0z的一个邻域内单叶解析.由此可见，符合本定理条件的解析变换()wfz将0z的一个充分小邻域变成00()wfz的一个曲边邻域.2解析变换的保角——导数的几何意义设()wfz于区域D内解析,0zD,在点0z有导数0z.通过0z任意引一条有向光滑曲线01:()()Czztttt,00()zzt，则必0'()zt存在且0'()0zt，从而由第二章习题（一）1，C在0z有切线，0'()zt就是切向量，它的倾角为0arg'()zt.经过变换()wfz，C之象曲线()fC的参数方程应为01:[()]()wfztttt由定理7.3及第三章习题（一）13，在点0wt0w＝（）的邻域内是光滑的，又由于000'()'()'()0wtfzzt，故在00()wfz也有切线，0'()wt就是切向量，其倾角为000arg'()arg'()arg'(),wtfzzt即0arg'()fz假设0'()Riafze则必00'(),arg'()fzRfza，于是a（7.1）且lim0zwRz（7.2）图7.1假定x轴与u轴、y轴与v轴的正方向相同（如图7.1），而且将原曲线的切线正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角，理解为原曲线经过变换后的旋转角，则（7.1）说明:象曲线在点00()wfz的切线正向,可由原象曲线C在点0z的切线正向旋转一个角0arg'()fz得出:0arg'()fz仅与0z有关,而与过0z的曲线C的选择无关,称为变换()wfz在点0z的旋转角这也就是导数辐角的几何意义.（7.2）说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比的极限是0'()Rfz，它仅与0z有关,而与过0z的曲线C之方向无关,称为变换()wfz在点0z的伸缩率.这也就是导数模的几何意义.上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关这个性质,称为伸缩率不变性.从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示()wfz将0zz处无穷小的圆变成0ww处的无穷小的圆,其半径之比为0'()fz.上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.经点0z的两条有向曲线1C、2C的切线方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角.设(1,2)iCi在点0z的切线倾角为(1,2)ii；iC在变换()wfz下的象曲线i在点00()wfz的切线倾角为(1,2)ii，则由（7.1）有11a及22a即有1122所以1212这里12是1C和2C在点0z的夹角（反时针方向为正），12是1和2在象点00()wfz的夹角（反时针方向为正）.由此可见，这种保角性既保持夹角的大小，又保持夹角的方向（图7.2）.图7.2定义7.1若函数()wfz在点0z的邻域内有定义,且在点0z具有:(1)伸缩率不变性；(2)过0z的任意两曲线的夹角在变换()wfz下,既保持大小，保持方向；则称函数()wfz在点0z是保角的.或称()wfz在点0z是保角变换.如果()wfz在区域D内处处都是保角的,则称()wfz在区域D内是保角的,或称()wfz在区域D内是保角变换.下面我们来讨论保角变换的性质.定理7.4如()wfz在区域D内解析,则它在导数不为零的点处是保角的.由上面的讨论即得.推论7.5如()wfz在区域D内单叶解析,则称()wfz在区域D内是保角的.注：由定理6.11，在D内'()0fz例7.1试求变换2()2wfzzz在点12zi处的旋转角，并且说明它将z平面的哪一部分放大？哪一部分缩小？解因'()222(1)fzzz，'(12)2(121)4fiii，故在点12i处的旋转角arg'(12)2fi又因22'()2(1)fzxy，这里zxiy，而'()1fz的充要条件是41)1(22yx，故2()2wfzzz把以1为心，12为半径的圆周内部缩小，外部放大.例7.2试证：izwe将互相正交的直线族1Rezc与2Imzc依次变为互相正交的直线族1tanvuc与圆周族2222cuve证正交直线族1Rezc与2Imzc在变换izwe下，有1221()iciccicizuivweeee，即有象曲线族2222cuve与1arctanvcu.由于在z平面上ize处处解析，且0izdwiedz，所以在w平面上圆周族2222cuve与直线族1tanvuc也是互相正交的.作业：317P1，2.3.单叶解析变换的共形性定义7.2如果()wfz在区域D内是单叶且保角的，称此变换()wfz在D内是共形的，也称它为D内的共形映射.注解析变换()wfz在解析点0z如有0'()0fz（由0'()fz在0z的连续性，必在0z的邻域内0），于是()wfz在点0z保角，因而在0z的邻域内单叶保角，从而在0z的邻域内共形（局部）；在区域D内()wfz（整体）共形，必然在D内处处（局部）共形，但反过来不必真.定理7.6设()wfz在区域D内单叶解析.则(1)()wfz将D保形变换成区域()GfD.(2)反函数1()zfw在区域G内单叶解析,且1'00001()(,())'()fwzDwfzGfz证(1)由推论7.2，G是区域,由推论7.5及定义7.2,()wfz将D保形变换成G.(2)由定理6.11,'00()0()fzzD,又因()wfz是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变换.于是,当0ww时,0zz,即反函数1()zfw在区域D内单叶.故11000000()()1fwfwzz由假设()(,)(,)fzuzyivxy在区域D内解析,即在D内满足..CR条件,xyyxuvuv.故22xyxxxxxyxxuuuvuvvvvu22()0,()xxuivfzzD由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数(,),(,)xxuvyyuv在点000wuiv及其一个邻域0()zNw内为连续.即在邻域0()zNw中,当0ww时,必有1100()()zfwzfw.故000110000000()()1limlim11()()'()limzzzfwf即1'001()'()fwfz000(,())zDwfzG由于0w或0z的任意性,即知1()zfw在区域G内解析.注〈1〉保形变换()wfz将区域D共形映射成区域()GfD，而其反函数1()zfw将区域G共形映射成区域D，这时，区域D内的一个无穷小曲边三角形变换成区域G内的一个无穷小曲边三角形（如图7.3），由于保持了曲线间的夹角大小及方向，故与‘“相似”.这是共形映射这一名称的由来.图7.3显然，两个共形映射的复合仍然是一个共形映射.具体地说，如()fz将区域D共形映射成区域E，而()wh将E共形映射成区域G，则[()]whfz将区域D共形映射成区域G.利用这一事实，可以复合若干基本的共形映射而构成较为复杂的共形映射.例7.3讨论解析函数nwz（n为正整数）的保角性和共形性.解（1）因为10ndwnzdz(0)z故nwz在z平面上除原点0z外.处处都是保角的.（2）由于nwz的单叶性区域是顶点的原点张度不超过2n的角形区域.故在此角形区域nwz内是共形的.在张度超过2n的角形区域内，则不是共形的，但在其中各点的邻域内是共形的(定理7.3).作业：317P3.2．分式线性变换教学目的与要求：使学生掌握线性变换的概念、性质与应用重点：分式线性变换的性质及其应用难点：反演变换的对称点课时：4学时1．分式线性变换及其分解azbwczd，0adbc（7.3）称为分式线性变换(或..Mobius变换),有时也简记为wLz.在（7.3）中,0adbc,则acbd,于是11abzazbbbcczdddzd,从而导致wLz恒为常数.因此条件0adbc是必要的.此外,如果对（7.3）式在扩充z平面上补充如下定义:当0c时,定义wL;当0c时,定义,dawLwLcc.从而我们就认为wLz是定义在整个扩充z平面上,而且将扩充z平面一对一地因而单叶地变为扩充w平面,因为（7.3）式具有如下的逆变换dwbzcwa（7.4）由定理7.1的注即可知分式线性变换（7.3）在扩充z平面上是保域的.其次,（7.3）式总可以分解为下式两个简单的变换的复合:(Ⅰ)(0)wkzhk(Ⅱ)1wz这是因为当0c时,（7.3）式为abwzdd,此即为(Ⅰ)型变换当0c时，（7.3）式可改写为1abcadawccczdc，它是下面三个(Ⅰ)或(Ⅱ)型变换的复合：1,czd和bcadawcc由此我们可以知道，只要弄清(Ⅰ)和(Ⅱ)型变换的几何性质，则分式线性变换（7.3）的几何性质也就随之清楚.下面我们讨论(Ⅰ)和(Ⅱ)型变换的几何性质(Ⅰ)型变换(0)wkzhk也称为整线行变换.设izkre（0r，为实数），则izwrezh，它实际上是由三个变换：z旋转伸缩和平移复而成的.也就是先将z旋转角度，然后按比例系数r作一个以原点为中心的伸缩，最后再平移一个向量h（如图7-4）.图7.4从图上也可看出，这种变换是相似变换且保持图形的方向不变.(Ⅱ)型变换1wz称为反演变换.它可以分解为下面两个变换的复合：(Ⅱ.1)1z(7.5)(Ⅱ.2)w(7.6)(Ⅱ.1)与(Ⅱ.2)分别称为关于单位圆周和关于实轴的对换变换,并称z与是关于单位圆周的对称点,与w是关于实轴的对换变换.已知点z,可用如图7-5的几何方法作出点1wz,然后作出1wz.图7.5从图7.5可以看出,w与z都在过单位圆圆心