03第三章流体静力学

流体力学顾伯勤主编研究生教材退出中国科学文化出版社第三章流体静力学作用于流体上的力静止流场中的应力静止流体的基本微分方程重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力重力场中静止气体的压力分布非惯性坐标系中的静止流体表面张力与毛细现象流体静压力的测量原理第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节退出返回第三章流体静力学退出返回第一节作用于流体上的力第1页流体静力学研究处于静止状态的流体（简称静止流体）应遵循的规律，它主要讨论静止流体的压力以及静止流体与它的边界之间的作用力。当流体处于静止状态时，流体内部没有相对运动，根据牛顿内摩擦定律，静止流体的切应力为零，显然，这时流体也不呈现粘性。因此流体静力学所得出的结论对理想流体（）或实际流体（）都是适用的。00一、表面力与流体应力通过与流体表面接触而作用于接触表面上的力称为表面力，又称面积力或接触力。作用于流体单位面积上的表面力称为流体应力。如图3.1所示，流场中任取一体积为、表面积为A的流体微团。外法线单位向量为的面积A上受到外界作用的表面力为，当A缩小为一个点时，A表面上的流体应力为n图3.1作用于流体上的力AFPn作用于流体上的力分为两类，即表面力与体积力。nPnpAnAnPp0lim（3.1）n第三章流体静力学退出返回第一节作用于流体上的力第2页外界作用于该流体微团上的表面力为。流体应力不仅与点的位置有关，而且与通过该点的截面方位有关，也就是说，通过一点可以有不同的流体应力。例如在直角坐标系中，某点的应力分别为通过该点外法线单位向量为截面上的应力。AnAdpzyxppp,,kji,,二、体积力与单位质量的体积力直接作用于流体体积上的力称为体积力。这种力的作用与该流体微团周围有无流体无关。体积力又称质量力。流体力学中经常采用的是单位质量的体积力，用表示。如作用于体积上的体积力为，体积中的流体密度为，则fFFf0lim（3.2）外界作用于该团流体上的体积力为。绝大多数流体力学问题中，流体是处于重力场中，令为重力加速度，则dfggf（3.3）第三章流体静力学退出返回第二节静止流场中的应力第1页静止流体保持恒定的变形，不存在任何方向的变形速率，所以没有用以抵抗不断变形的切向应力，流体表面的作用力只有法向应力。由于流体除承受很小的表面张力外，不能承受拉应力，所以法向应力只能是压应力，于是静止流体的应力只有法向的压应力。取微元四面体建立力的平衡方程，可以得到结论：通过一点的各个截面上的压应力的值都是相等的，于是静止流体的应力可表示为式中定义为静止流体的压力()，它就是经典热力学中的平衡态压力。在流体力学中，压力是空间位置点与时间的函数，即。pnnpp0p),,,(tzyxpp（3.4）第三章流体静力学退出返回第三节静止流体的基本微分方程第1页一、静止流体基本微分方程如图3.1所示，静止流体中任意流体微团所受的合力为零，即式中为作用于微元体积上的合力。因为是任意的，被积函数是连续的，所以要满足上式，只可能处处为零。于是有0d)(ddddpApAAAnfnfpf)(pfd)(pf)(pffp（3.5）式（3.5）即为静止流体基本微分方程。流场中任取一段微元线段点积式（3.5），则有式中表示沿线段的压力增量。在直角坐标系中ldlfddppdldzfyfxfpzyxdddd（3.6）（3.7）重力场中，，即，这里z为某一参考水平面铅垂方向上的坐标值，为重力加速度的数值，于是（3.7）式变为：gfffzyx,0,0zgddlfgzgpdd（3.8）第三章流体静力学退出返回第2页第三节静止流体的基本微分方程（3.8）式中含有两个变量函数和，但只有一个微分方程，所以（3.8）式本身是不封闭的，为此必须引入补充假定。对于密度相同的不可压缩流体充满的流场（简称不可压流场），可引入。对于可压缩流体，则引入正压流场假定。二、正压流场流场中流体密度只是压力的单值函数，即，则这种流场称为正压流场，正压流场具有以下主要性质：pconst)(p（1）流场中存在压力函数，定义为；（2）；（3）等压面就是等密度面。完全气体均温场（）和标准大气场为流体力学中常见的正压流场。)(p)(p)(dpppppddconstp第三章流体静力学退出返回第3页第三节静止流体的基本微分方程三、静止流体的基本特征由静止流体基本微分方程可得到静止流场的基本特性：（1）静止流场中质量力必满足，否则流场不会处于静止。（2）质量力有势的静止流场必是正压或不可压流场，其等压面必是等势面。如有几种不同密度流体组成的流场，其交界面（又称自由面）必是等压面。（3）重力场（）中的静止流体，除具有上述性质外，不同介质形成的自由面必是水平面。同一介质连通的水平面必是等压面。fp0ffgf第三章流体静力学退出返回第1页第四节重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力一、压力公式重力场是最典型的质量力场。在重力场中，，若使直角坐标轴与地面的外法线重合，则重力场可写成由（3.8）式严格说来，式中可以是的函数，但当所讨论的问题的时间和空间范围不大时，可视为常数。液体的可压缩性很小，如果在整个流场中压力差别不是非常大，则可视液体为不可压缩流体，即。积分式（3.9）可得式中，它可以是时间的函数。gfzgkfzgpddgtzyx,,,gconstgzpp000zppt（3.9）（3.10）例题3.1有一差压测压管，连接方式如图3.2所示。测得值，且已知测压管内两种流体的密度分别为和，求1-1和2-2截面上压力差的值。cba,,0121pp第三章流体静力学退出返回第2页解：因同一介质连通的水平面为等压面，作3-3和4-4水平面，由（3.10）式可得合并上两式即可得到gcpgapp14013图3.2差压测压管22113344acbgbpp024)(0121abggcpp01二、重力场中静止流体对物面的作用力和力矩在实际工程问题中，往往需要确定液体与固体接触面之间的作用力。既然静止液体中的压力分布规律已经知道，则流场边界面上的压力分布规律也是已知的，故不难确定固体任意边界面A上所受的力为AgzpApAAd)(d0nnF（3.11）第四节重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力式中A为物体与流体的接触面；为物面外法线方向单位向量；为物体表面所受的流体压力；为流体压力对参考点的力矩；为参考点到物面点的向径；为参考点到合力作用线上任意一点的向径，如图3.3所示，合力作用线上的任意一点都可称为压力中心，但通常把该线与物面的交点称为压力中心。第三章流体静力学退出返回第3页图3.3压力中心cc固体任意边界面A上所受的力矩为AgzpApAoAood)(d0nrnrMoMF如果，则压力中心即固体任意边界面A上所受力的合力作用线的位置可由下式确定0oMFocMFrcronpoMoorocroccc（3.12）（3.13）第四节重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章流体静力学退出返回第4页（一）竖放平壁面上所受的力流场的某部分边界为竖放平壁面，如图3.4所示，试确定面积A上所承受的由于静液引起的作用力。为讨论方便起见，将坐标原点放在自由面上，并使轴与竖面相垂直，于是竖面的法线与一致。由公式（3.11），液体作用在面积A上的合力为即xniAgzpaAd)(nFAghpaAd)(iAaxAhgApFd（3.14）可见，作用力由两部分组成：一部分是气压对壁面的作用力，另一部分是液体对壁面的作用力。ApaAAhgd上述分析同样适合于求液体内部任意放置的竖平面上的作用力。例题3.2若在液体流场中有竖壁面，如图3.5所示，试求此壁面所承受来自液体的作用力。))((1212yyhhA第四节重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章流体静力学退出返回第5页AghpApaAAd)(diiFhyghhypAaAddddii21212121ddddyyhhyyhhayhhgyhpii))((2))((2122121212hhyyghhyypaii解:（二）平放平壁面上所受的力流场的某部分边界为平放平壁面，试确定面积A上所承受的由于静液引起的作用力。为讨论方便起见，将坐标原点放在自由面上，壁面单位法线向量与重合（即壁面上部有液体），如图3.6(a)所示，则液体作用在深度为的平面A上的合力为即nkHAgzpaAd)(nFAgHpa)(kAgHpFaz)(（3.15）第四节重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章流体静力学退出返回第6页pahzyxnHFnpaFH(a)壁面向上(b)壁面向下图3.6平放平壁面所受的力o可见，作用力由两部分组成：一部分是气压对壁面的作用力，另一部分是液体对壁面的作用力，它相当于面积A上所承受的液体总重。若壁面法线向量与相反，如图3.6(b)所示，则液体作用于面积A上的力为即ApagHAnkAgzpaAd)(nFAgHpa)(kAgHpFaz)(可见，作用力方向向上（指向作用面）。（三）任意曲面上所受的力若流场的某部分边界壁面为曲面，如图3.7所示，试确定面积A上所承受的力。第四节重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力如图3.7(a)所示，若将坐标原点放在自由表面上，则压力公式可写成。由于曲面上各点的法线向量并不相同，故应对每个微元面积进行分析。在曲面上任取微元面积，其法向单位向量为，式中，，，。第三章流体静力学退出返回第7页ghppaAdzyxnnnkjin),cos(xnxn),cos(ynyn),cos(znzn微元面受力为由几何关系可知，微元面在坐标面上的投影为，，。于是受力公式可写成AzpAypAxpApd),cos(d),cos(d),cos(ddnknjninFAdAxAxd),cos(dnAyAyd),cos(dnAzAzd),cos(dnzyxApApApddddkjiFzzyyxxApFApFApFdd,dd,dd即整个曲面上的受力可由上式积分求得AAAxaxxAghpApFd)(dAAyayyAghpApFd)(dAAzazzAghpApFd)(d（3.18）（3.17）（3.16）第四节重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章流体静力学退出返回第8页(a)(b)(c)(d)nApahzyxhpaxAzhxx1pah1h2AzxpaA‘‘‘’hh'图3.7曲面受力oooA式中为曲面各点的深度。由式（3.16）、（3.17）可见，水平方向的力与式（3.14）的形式一样，但积分域为曲面分别在两个竖坐标面上的投影。因此曲面的侧向受力与竖放平壁面侧向受力相同，只是把曲面在侧面上的投影作为竖平壁面处理。若曲面如图3.7(b)所示，有一部分曲面在竖坐标面上有正反两个投影，而它们又处于同一水平面上，它们的作用力大小相等，方向相反，故可相互抵消。h式（3.18）虽然与式（3.15）形式相同，但是式中为变量。h第四节重力场中静止流体的压力，静止流体对物面的作用力第三章流体静力学退出返回第9页式（3.18）又可写成显然，上式右侧第一项为气压对曲面的作用，第二项为曲面上液体的总重量。例题3.3试求图3.7(c)中单位宽度的斜面所承受的作用力，斜面方程为),(yxhhAzazyxyxhgApFdd),(zFxxhhhh]/)[(1121（3.19）解：若曲面如图3.7(d)所示，上下两部分曲面在平面上的