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求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容,也是高考中的常见题型,本文对三角函数的求最值问题进行归类研究,供同学们借鉴。一、化成的形式【例1】在直角三角形中,两锐角为A和B,求的最大值。【解析】由,得,则当时,有最大值。【例2】求函数在上的最大值和最小值。【解析】由,得,得,则当x=0时,;当时,【点评】这类题目解决的思路是把问题化归为的形式,一般而言,,但若附加了x的取值范围,最好的方法是通过图象加以解决。例2中,令,画出在上的图象(如图1),图1不难看出,即。应注意此题容易把两个边界的函数值和误认为是最大值和最小值。二、形如的形式【例3】求函数的最大值和最小值。【解析】由已知得,即,所以因,即解得,故【点评】上述利用正(余)弦函数的有界性,转化为以函数y为主元的不等式,是解决这类问题的最佳方法。虽然本题可以使用万能公式,也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解,但都不如上述解法简单易行。有兴趣的同学不妨试一试其他解法。三、形如的形式【例4】求函数的最大值和最小值。【解析】由,得,,,即【点评】此题是利用了分离分母的方法求解的。若用例3的解法同样可求,有兴趣的同学不妨试一下,并作解法对比。四、形如的形式【例5】求的最小值。【解析】设,则。从图2中可以看到在区间上是减函数(也可以利用函数的单调性定义来证明这一结论)。当时,【点评】若由,可得最小值是错误的。这是因为当等号成立时,,即是不可能的。若把此题改为就可以用不等式法求解了,同学们不妨琢磨一下。五、利用与之间的关系【例6】求函数的最大值和最小值。【解析】设,则,且。由于,故当t=1时,;当时,。【点评】这三者之间有着相互制约,不可分割的密切联系。是纽带,三者之间知其一,可求其二。令换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。应该注意的是求三角函数的最值方法有多种,像配方法、不等式法等,这里不再赘述,有兴趣的同学不妨自己探讨一下。【练一练】1.求函数的最大值和最小值。2.求函数的最大值和最小值。3.已知,求函数的最大值和最小值。【答案】1.(提示:由)2.(提示:由)3.,(提示:令,则。,解得。于是,容易求解)
本文标题:三角函数的最大值与最小值
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