函数奇偶性与单调性综合应用--专题

1/11函数奇偶性与单调性的综合应用专题【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；.2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质；3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性.教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质.【复习旧识】1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？【新课讲解】一、常考题型1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小；2.当题目中出现“2121)()(xxxfxf＞0（或＜0）”或“)(xxf＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性；3.证明或判断某一函数的单调性；4.证明或判断某一函数的奇偶性；5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(xf＞0（或＜0）”时x的取值范围）；6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围.2/11二、常用解题方法1.画简图（草图），利用数形结合；2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化；3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论.三、误区1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关；2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；3.奇函数若在“0x”处有定义，必有“0)0(f”；4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异；5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制.四、函数单调性证明的步骤：（1）根据题意在区间上设；（2）比较大小；（3）下结论.函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域；（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系；（3）下结论.【典型例题】例1设)(xf是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a＝)31(log2f，b＝)21(log3f，c＝)2(f，则a，b，c的大小关系是()A．cba＞＞B．acb＞＞C．bac＞＞D．abc＞＞【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质.3/11【解析】因为log23log22＝2，0log32log33＝1，所以log32log232.因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(log32)f(log23)f(2)，因为f(x)是偶函数，所以a＝)31(log2f＝f(－log23)＝f(log23)，b＝)21(log3f＝f(－log32)＝f(log32)，c＝)2(f＝f(2)．所以bac＞＞.【答案】C例2（2014•成都一模）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时有＞0．（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：f（x+）＜f（）；（3）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．【考点】函数的奇偶性；函数单调性的判断与证明；函数的最值与恒成立问题．【解析】解：（1）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，由已知＞0，又x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在[﹣1，1]上为增函数；（2）∵f（x）在[﹣1，1]上为增函数，4/11故有（3）由（1）可知：f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（1）=1，故对x∈[﹣l，1]，恒有f（x）≤1．所以要使f（x）≤t2﹣2at+1，对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，即要t2﹣2at+1≥1成立，故t2﹣2at≥0成立．即g（a）=t2﹣2at对a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，只需g（a）在[﹣1，1]上的最小值大于等于零．故g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，解得：t≤﹣2或t=0或t≥2．【点评】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．5/11【课堂练习】一、选择题1.函数y＝2－|x|的单调递增区间是()A．(－∞，＋∞)B．(－∞，0]C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，如果f(lgx)f(1)，那么x的取值范围是()A．(110，1)B．(0，110)∪(1，＋∞)C．(110，10)D．(0,1)∪(10，＋∞)3.下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是()A．y＝3x＋1B．f(x)＝x1C．y＝1－x1D．f(x)＝x34.如图是偶函数y＝f(x)的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是()A．f(－1)－f(2)0B．f(－1)－f(2)＝0C．f(－1)－f(2)0D．f(－1)＋f(2)05.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图像与f(x)的图像重合，设ab0，给出下列不等式：①f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)；②f(b)－f(－a)g(a)－g(b)；③f(a)－f(－b)g(b)－g(－a)；④f(a)－f(－b)g(b)－g(－a)．其中成立的是________．6.设f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是()A．f(－π)f(3)f(－2)B．f(－π)f(－2)f(3)6/11C．f(－π)f(3)f(－2)D．f(－π)f(－2)f(3)7.已知f(x)是奇函数且对任意正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有2121)()(xxxfxf0，则一定正确的是()A．f(3)f(－5)B．f(－5)f(－3)C．f(－5)f(3)D．f(－3)f(－5)8．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()A．abB．abC．|a||b|D．0≤ab或ab≥09.若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)f(lgx)的解集是()A．(0,10)B.10101，C.，101D.1010，∪(10，＋∞)二、选择题10.若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为________.11．若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则满足f(π)f(a)的实数a的取值范围是________．三、解答题12.已知函数f(x)＝x2－2|x|－1，－3≤x≤3.(1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间；(3)求函数的值域．7/1113.定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)f(m)．求实数m的取值范围．14.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域是[a－1,2a]，求f(x)的值域．15.(1)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且在R上为增函数，求不等式f(4x－5)0的解集；(2)已知偶函数f(x)(x∈R)，当x≥0时，f(x)＝x(5－x)＋1，求f(x)在R上的解析式．8/1116.(本小题满分12分)设函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f）（31＝1，当x0时，f(x)0.(1)求f(0)的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)如果f(x)＋f(2＋x)2，求x的取值范围．9/11参考答案BCDCADCD5.答案①③解析－f(－a)＝f(a)，g(－6.b)＝g(b)，∵ab0，∴f(a)f(b)，g(a)g(b)．∴f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，∴①成立．又∵g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)，∴③成立．10.答案－1511.答案(－π，π)解析若a≥0，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)f(a)，得aπ.若a0，∵f(π)＝f(－π),则由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于f(－π)f(a)，得到a－π，即－πa0.由上述两种情况知a∈(－π，π)．12.解析(1)略(2)f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．(3)f(x)的值域为[－2,2]．13.解析∵f(x)为偶函数，∴f(1－m)f(m)可化为10/11f(|1－m|)f(|m|)，又f(x)在[0,2]上是减函数，∴|1－m||m|，两边平方，得m12，又f(x)定义域为[－2,2]，∴－2≤1－m≤2，－2≤m≤2，解之得－1≤m≤2，综上得m∈[－1，12)．14.解∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在区间[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，b＝0，∴a＝13，b＝0.∴f(x)＝13x2＋1.∴f(x)＝13x2＋1在－23，23上的值域为1，3127.15.解(1)∵y＝f(x)在R上为奇函数，∴f(0)＝0.又f(4x－5)0，即f(4x－5)f(0)，又f(x)为增函数，∴4x－50，∴x54.即不等式f(4x－5)0的解集为x|x54.(2)当x0时，－x0，∴f(－x)＝－x(5＋x)＋1，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x(5＋x)＋1.∴f(x)＝x5－x＋1x≥0，－x5＋x＋1x0.11/1116.解(1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.(2)令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数．(3)任取x1，x2∈R，x1x2，则x2－x10.∵f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)0，∴f(x1)f(x2)．故f(x)是R上的增函数．∵f13＝1，∴f23＝f13＋13＝f13＋f13＝2.∴f(x)＋f(2＋x)＝f[x＋(2＋x)]＝f(2x＋2)f23.又由y＝f(x)是定义在R上的增函数，得2x＋223，解之得x－23.故x∈－∞，－23.