2020年全国3卷-理科数学真题(pdf版含解析)

-1-2020年全国3卷理科数学真题（解析版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知集合{(,)|,,}Axyxyyx*N，{(,)|8}Bxyxy，则AB中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C【详解】由题得，AB中的元素有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)共4个，故选：C.考点：集合的运算2.复数113i的虚部是（）A.310B.110C.110D.310【答案】D【详解】1131313(13)(13)1010iziiii，所以虚部为310.故选：D.考点：复数的运算3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,pppp，且411iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4ppppB.14230.4,0.1ppppC.14230.2,0.3ppppD.14230.3,0.2pppp【答案】B【详解】A项的平均数为140.1230.42.5Ax，方差为2222212.50.122.50.432.50.442.50.10.65As；B项的平均数为140.4230.12.5Bx，方差为2222212.50.422.50.132.50.142.50.41.85Bs；C项的平均数为140.2230.32.5Cx，方差为2222212.50.222.50.332.50.342.50.21.05Cs；D项的平均数为140.3230.22.5Dx，方差为2222212.50.322.50.232.50.242.50.31.45Ds.因此，B选项这一组的标准差最大.故选：B.考点：方差的运算4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：0.23(53)()=1etIKt，其中K为最大确诊病例数．当I(*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69-2-【答案】C【详解】0.23531tKIte，所以0.23530.951tKItKe，则0.235319te，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t.故选：C.考点：对数的运算5.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A.（14，0）B.（12，0）C.（1，0）D.（2，0）【答案】B【详解】因为直线2x与抛物线22(0)ypxp交于,CD两点，且ODOE，根据抛物线的对称性可以确定4DOxCOx，所以(2,2)C，代入抛物线方程44p，求得1p，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.考点：抛物线6.已知向量a，b满足||5a，||6b，6ab，则cos,=aab（）A.3135B.1935C.1735D.1935【答案】D【详解】5a，6b，6ab，225619aabaab.22222526367ababaabb，因此，1919cos,5735aabaabaab.故选：D.考点：平面向量的运算7.在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=（）A.19B.13C.12D.23【答案】A【详解】在ABC中，2cos3C，4AC，3BC根据余弦定理：2222cosABACBCACBCC-3-2224322433AB可得29AB，即3AB22299161cos22339ABBCACBABBC故选：A.考点：余弦定理与解三角形8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.4+42C.6+23D.4+23【答案】C【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABCADCCDBSSS△△△由勾股定理得：22ABADDBADB△是等边三角形2113sin60(22)23222ADBSABAD△表面积：2362332.故选：C.考点：三棱锥表面积计算9.已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A.–2B.–1C.1D.2【答案】D【详解】2tantan74，tan12tan71tan，-4-令tan,1tt，则1271ttt，整理得2440tt，解得2t，即tan2.故选：D.考点：三角恒等变换10.若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12【答案】D【详解】设直线l在曲线yx上的切点为00,xx，则00x，函数yx的导数为12yx，则直线l的斜率012kx，设直线l的方程为00012yxxxx，即0020xxyx，由于直线l与圆2215xy相切，则001145xx，两边平方并整理得2005410xx，解得01x，015x（舍），则直线l的方程为210xy，即1122yx.故选：D.考点：导数的几何意义与切线方程11.设双曲线C：22221xyab（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）A.1B.2C.4D.8【答案】A【详解】5ca，5ca，根据双曲线的定义可得122PFPFa，12121||42PFFPFFSP△，即12||8PFPF，12FPFP，22212||2PFPFc，22121224PFPFPFPFc，即22540aa，解得1a，故选：A.考点：双曲线中的焦点三角形12.已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】A-5-【详解】由题意可知a、b、0,1c，222528log3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg241log5lg5lg522lg5lg25lg5ab，ab；由8log5b，得85b，由5458，得5488b，54b，可得45b；由13log8c，得138c，由45138，得451313c，54c，可得45c.综上所述，abc.故选：A.考点：对数大小比较二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件0,201,xyxyx，，则z=3x+2y的最大值为_________．【答案】7【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32zxy，所以322xzy，易知截距2z越大，则z越大，平移直线32xy，当322xzy经过A点时截距最大，此时z最大，由21yxx，得12xy，(1,2)A，所以max31227z故答案为：7.考点：线性规划14.262()xx的展开式中常数项是__________（用数字作答）．-6-【答案】240【详解】622xx其二项式展开通项：62612rrrrCxxT1226(2)rrrrxCx1236(2)rrrCx当1230r，解得4r622xx的展开式中常数项是：664422161516240CC.考点：二项式定理15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BCABAC，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于223122AM，故1222222S△ABC，设内切圆半径为r，则：ABCAOBBOCAOCSSSS△△△△111222ABrBCrACr1332222r，解得：22r=，其体积：34233Vr.故答案为：23.考点：圆锥内切球16.关于函数f（x）=1sinsinxx有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③-7-【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66ff，所以，函数fx的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数fx的定义域为,xxkkZ，定义域关于原点对称，111sinsinsinsinsinsinfxxxxfxxxx，所以，函数fx的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sincos22cossin2fxxxxx，11sincos22cossin2fxxxxx，则22fxfx，所以，函数fx的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x时，sin0x，则1sin02sinfxxx，命题④错误.故答案为：②③.考点：函数的对称性三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{an}满足a1=3，134nnaan．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【详解】（1）由题意可得2134945aa，32381587aa，由数列na的前三项可猜想数列na是以3为首项，2为公差的等差数列，即21nan，证明如下：当1n时，13a成立；假设nk时，21kak成立.那么1nk时，1343(21)4232(1)1kkaakkkkk也成立.则对任意的*nN，都有21nan成立；（2）由（1）可知，2(21)2nnnan231325272(21)2(21)2nnnSnn，①23412325272(21)2(21)2nnnSnn，②-8-由①②得：23162222(21)2nnnSn21121262(21)212nnn1(12)22nn，即1(21)22nnSn.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200