2020年-全国卷III-数学-(理科)-试卷p

绝密⋆启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)试卷注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内;2.选择题必须使用2B铅笔填土,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写;3.请按照题号顺序在答题卡的答题区域内作答,超出答题区域的其他地方答案无效;4.作图可先试用铅笔画出，确定后必须用黑色签字笔描黑;5.保持卡面清洁、不要折叠、弄破,不准使用修正带、涂改液、刮纸刀.第一部分选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个人符合题目要求1.已知集合A={(x,y)|x,y∈N+,y⩾x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为().(A)2(B)3(C)4(D)62.复数11−3i的虚部是().(A)−310(B)−110(C)110(D)3103.一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1p2,p3,p4,且4∑i=1=1,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是().(A)p1=p4=0.1,p2=p3=0.4(B)p1=p4=0.4,p2=p3=0.1(C)p1=p4=0.2,p2=p3=0.3(D)p1=p4=0.3,p2=p3=0.24.Logistic是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)=Ke−0.23(t−53)其中K为最大确诊病例数.当I(t∗)=0.95K时，标志着初步遏制疫情，则t∗约为(ln19≈3)()(A)60(B)63(C)66(D)695.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)相交于D,E两点，若OD⊥OE则C的焦点坐标为().(A)(14,0)(B)(12,0)(C)(1,0)(D)(2,0)6.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=−6，则cos⟨a,a+b⟩=().(A)−3135(B)−1935(C)1735(D)1935理科数学试题第1页（共5页）7.在△ABC中，cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB=().(A)19(B)13(C)12(D)2−238.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是().(A)6+4√2(B)4+4√2(C)6+2√3(D)4+2√3222第8题图9.已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=().(A)-2(B)-1(C)1(D)210.若直线l与曲线y=√x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为().(A)y=2x+1(B)y=2x+12(C)12x+1(D)12x+1211.若双曲线Cx2a2−y2b2=1,(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为√5,P是C上一点,且F1P⊥F2P,若△PF1F2的面积为4,则a=().(A)1(B)2(C)4(D)812.已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=log138,则().(A)abc(B)bac(C)bca(D)cba第二部分填空题:本部分共4道小题,每个小题5分,共20分13.若变量x,y满足约束条件f(x)=x+y≥0;2x−y−≥0;x≤1;则z=2x+y的最大值为.14.二次项式(x2+2x)6展开式中常数项是（用数字作答）.15.一直圆锥的底面半径为1，母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为16.关于函数f(x)=sinx+1sinx有如下四个命题：1Of(x)的图像关于y轴对称.2Of(x)的图像关于原点轴对称.3Of(x)的图像关于直线x=π2对称.4Of(x)的最小值为2.理科数学试题第2页（共5页）绝密⋆启用前其中所有真命题的序号是.第三部分解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题,每个考生都必须作答;第22∼24题为选考题,考生根据要求作答(每题7分,共21分)(一)必考题(共60分)17.(本题满分10分，第一小题满分4分，第二小题满6分)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an−4n.(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明.(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.18.(本题满分12分，第一小题满分6分，第二小题满6分)某兴趣小组随机调查了某市100天重每天的空气质量等级和当天某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：空气质量等级锻炼人次[0,200](200,400](400,600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（重度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量良好”：若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据所给数据，完成下面2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次⩽400人次400空气质量好空气质量不好理科数学试题第3页（共5页）绝密⋆启用前附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P(K2⩾k)0.0500.0100.001k406.63510.82819.(本题满分12分，第一小题满分3分，第二小题满4分,第三小题满5分)如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分别在棱DD1,BB1上，且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)证明:点C1在平面AEF内.(2)若AB=2,AD=1,AA1=3求二面角A−EF−A1的正弦值.D1A1C1B1DCBAEF20.(本题满分14分，第一小题满分3分，第二小题满5分，第三小题满分6分)已知椭圆C:x225+y2m2=1的离心率为√154,A,B两点分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程；(2)若P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|、求△APQ的面积.21.(本题满分12分，第一小题满分6分，第二小题满6分)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点(12,f(12))处的切线与y轴垂直.理科数学试题第4页（共5页）绝密⋆启用前(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明：f(x)的所有零点的绝对值都不大于1.(二)选考题：共10分，请考生在第22∼24中任选一道题作答，如果考生多做，则按给出解答的第一题计分.22.[选修4-4:参数坐标系]在直角坐标系{x0y}中,曲线C的参数方程为:x=2−t−t2,y=2−3t+t2,(t为参数且t,1),C与坐标轴相较于AB两点.(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.23.[选修4-5:不等式选讲]设a,b,c∈R,且a+b+c=0,abc=1.(1)证明：ab+bc+ca0;(2)用max{a,b,c}的最大值，证明：max{a,b,c}⩾3√4.理科数学试题第5页（共5页）