一次二阶矩法与蒙特卡洛法简介

可靠度指标及其几何意义将结构的功能函数定义为：𝑍=g𝑅,𝑄𝑅−𝑄=𝑍0，𝑍0，𝑍=0结构满足功能要求结构失效结构处于极限状态假定R、Q为独立正态分布的随机变量，则其标准化随机变量为：𝑈𝑅=𝑅−μ𝑅σ𝑅𝑈𝑄=𝑅−μ𝑄σ𝑄𝑅=σ𝑅𝑈𝑅+μ𝑅𝑄=σ𝑄𝑈𝑄+μ𝑄𝑔𝑈𝑅,𝑈𝑄=μ𝑄−μ𝑄+σ𝑅𝑈𝑅−σ𝑄𝑈𝑄可靠度指标及其几何意义'*22()RQopRQd22()ZRQZRQ𝑔𝑈𝑅,𝑈𝑄=μ𝑄−μ𝑄+σ𝑅𝑈𝑅−σ𝑄𝑈𝑄可靠指标是指在标准化空间中，坐标原点到极限状态方程表示的直线的最短距离。d一次二阶矩法基本原理分类一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清楚时，采用均值和标准差的数学模型，求解结构的可靠指标、结构可靠度的方法。该法将功能函数Z=g(X)在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩。中心点法设计验算点法中心点不在极限状态面上，在中心点用泰勒级数展开的对应曲面可能会偏离原极限状态面，不能考虑随机变量的实际分布，对非线性极限状态函数，计算误差可能会比较大将功能函数的线性化Talor站开点选在失效面上，同时考虑了基本随机变量的实际分布中心点法基本原理设结构的功能函数具有一般形式Z=g(X)(1-1)基本随机变量X=(X1,X2,X3,……Xn)T的各个分量相互独立，其均值为μx=（μx1，μx2，……,μxn)T,标准差为σx=（σx1，σx2，……，σxn)T将功能函数Z在均值点（中心点）出展开成Talor级数并保留至一次项，即Z≈g(μx)+(𝝏𝒈𝝏𝑿𝒊)𝒏𝒊=𝟏μx(Xi-μxi)(1-2)则Z的均值和方差可分别表示为：μz=g(μx)(1-3)σ2Z=[(𝜕𝑔𝜕𝑋𝑖)𝑛𝑖=1μx]2σ2xi(1-4)因此，可靠度指标为：β=𝝁𝒛𝝈𝒛=𝒈(𝝁𝑿)[(𝝏𝒈𝝏𝑿𝒊)𝒏𝒊=𝟏μx]2σ2xi(1-5)验算点法基本原理设结构的极限状态方程为：Z=g(X)=0（2-1）将极限状态方程在设计验算点x*=(x1*,x2*……xn*)处按Taloy级数展开，取一次项：Z的均值为：设各随机变量相互独立，则Z的标准差为：(2-3)*1(*)()(*)xniiigZgxXxX(2-2)*1(*)()(*)xiinxiigzgxxX*221[()]xinXiigzgX(2-4)由2-3、2-4知，可靠度指标为：令Yi为Xi的标准化随机变量，即：𝑌𝑖=𝑋𝑖−μ𝑥𝑖σ𝑋𝑖(2-6)将2-6代入2-2，并除以2-4用2-4得到：**1221(*)()(*)[()]xiixinxiinXiiggxxzXzgX(2-5)****11222211(*)()(*)()()0[()][()]xiixixixinnxXiiiiinnXXiiiigggxxYXXggXX(2-7)验算点法基本原理将2-5代入2-6，得定义变量Xi的灵敏度系数如下：式2-7可写为：**1221()0[()]xixinXiiinXiigXYgX（2-8）（2-9）10inXiiY（2-10）**1221()[()]xiixinXiiXnXiigXgX验算点法基本原理可靠度指标及验算点的几何意义（二维随机变量）可靠指标在几何上就是Y空间内从原点0（即中心点）到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。在超曲面Ｚ＝0上，离原点0最近的点Y*(y1*,y2*,····,yn*)即为验算点。若定义法线Oy*对坐标向量的方向余弦：**21()cos[()]yiyiYniigYgY𝑌𝑖=𝑋𝑖−μ𝑥𝑖σ𝑋𝑖iiiXiiiiggXXYXYY（2-11）代入2-11得：**1221()cos[()]xiixinXiiYiXnXiigXgX*cosiiYXy*iiiiXXxX失效域可靠域极限状态面在y*点处的线性近似平面ββcosθy1βcosθy22.设计验算点法基本原理假定初始验算点x*计算灵敏度系数计算可靠度指标β*iiiiXXxX计算新的验算点||x*||之差ε计算失效概率pf=1−Φ(β)是否独立正态分布的随机变量验算点法计算流程验算点法计算步骤非正态分布随机变量JC法为当量正态化法，将原来非正态分布随机变量Xi用等效正态分布代替，要求满足以下2个条件：原函数值F(xi*)与当量正态函数值F’(xi*)相等原概率密度值f(xi*)与当量正态分布概率密度值f’(xi*)相等JC法验算点法-当量正态化假设Xi为非正态随机变量，均值和标准差分别为μXi、σXi，概率密度函数为fXi(xi)，累积分布函数为Fxi(xi)。与Xi相对应的当量正态化变量为Xi‘（满足正态分布），均值和标准差为μX’i、σX‘i，概率密度函数为fX’i(x’i),累积分布函数为FX’i(x’i)'*'()(')'1*''(*)()(*)'iiiiiiiiiiXXXiXiXXiXiXXxFFxxfxfx)(**1*1*iXiXXXiXiXxfxFxFxiiiiii(2-12)(2-13)(2-14)(2-15)将当量正态化变量的均值和标准差的均值代入验算点法计算流程即可进行计算JC当量正态化步骤土坡沿圆弧划裂面绕O点发生滑动破坏。W为滑动土体的自重，坡内土层分为两层F1，F2分别为第一层土和第二层土提供的抗滑阻力，T为超载。功能函数有两种，一种为线性函数，一种为非线性函数分别采用采用中心点法和设计验算点法计算可靠度指标β及失效概率pf例1基本随机变量统计值例题分析计算方法功能函数可靠度指标β失效概率pf中心点法2.64450.00412.18660.0144验算点法2.64450.00412.64450.0041121010()135FFgXWT12()101035gXFFWT一次二阶矩法由以上计算结果，可以得到如下结论：对于相同意义但不同形式的功能函数，中心点法的计算结果可能不相同中心点法适用于线性化程度较高的功能函数在验算点X*(P*)处用该点的切平面来代替真正的失效面,在验算点处随着失效面的凸向或凹向标准化正态空间的坐标原点,验算点到原点的距离，即计算结果将偏于安全或危险。岩土工程相关的功能函数大多为非线性函数，相对于中心点法，采用验算点法更为准确蒙特卡洛模拟法伯努利大数定理设𝑓𝐴是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，对于任意正整数ε0有：另设x1,x2……xn是n个具有相同分布的独立变量，且具有相同的有限均值和方差，用μ，σ2表示，则对于任意正整数ε0有：limn→∞𝑃|𝑓𝐴𝑛−𝑝|𝜀=1limn→∞𝑃|1𝑛𝑋𝑘𝑛𝑘=1−μ|𝜀=1由伯努利大数定理可知，当n足够大时，xk/n收敛于μ，频率fA/n以概率1收敛于p蒙特卡洛模拟法基本思想若已知随机变量𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑛的概率分布及极限状态方程𝑍=g(𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑛),根据各随机变量𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑛的分布，利用蒙特卡洛法产生相应分布的一组随机数𝑥1,𝑥2,……𝑥𝑛，代入极限状态方程得𝑍1=𝑔(𝑥1,𝑥2,……𝑥𝑛)。做N次这样的试验，则可得到随机变量Z的一组样本𝑍1,𝑍2,……𝑍𝑛；若其中有𝑀个𝑍0,当𝑁足够大时，根据伯努利大数定理，有：12(,,)0fnMPPgXXXN直接抽样法计算步骤产生[0,1]均匀分布的随机数利用反变换法、舍选法、复合法等方法产生随机变量𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑛相应的N组随机数将这N组随机数代入极限状态方程𝑍=g(𝑋1,𝑋2,……𝑋𝑛),得到随机变量Z的一组样本若𝑍1,𝑍2,……𝑍𝑛中有M个z0，则失效概率的估计值𝑝𝑓=𝑀𝑁Z的均值和标准差的估计值为：11ˆnZiiZN211ˆ()1NziZiZNˆˆzz蒙特卡洛模拟法随机变量的模拟方法使用MATLAB内的函数可以方便地生成各种随机数，在得到[0，1]均匀分布的随机数后，可以采用多种方法模拟随机变量。正态分布随机数的模拟R1、R2为相互独立的[0，1]分布的随机数，μ、σ为正态分布的均值和标准差。用此算法产生正态分布的随机数的精度高,可以同时产生一对互为正交的正态随机数。蒙特卡洛模拟法对数正态分布随机数的模拟设，则𝑋=e𝑌服从相应的对数正态分布,因此可由正态分布的随机数来得到对数正态分布的随机数。极值Ⅰ型最大值分布随机数的模拟极值Ⅰ型最大值分布的分布函数为：设Ri为[0，1]分布的随机数，令,有：所求的𝑥𝑖服从极值I型分布𝑌∼𝑁（𝜇，𝜎2）𝐹(𝑥)=exp−exp[−𝛼(𝑥−𝑘)𝐹(𝑥𝑖)=𝑅𝑖𝑥𝑖=𝑘−1𝛼ln−ln(𝑅𝑖)蒙特卡洛模拟法用蒙特卡洛法模拟法计算例1中的非线性极限状态方程，结果对比如下：可靠度指标β失效概率pf验算点法2.64450.0041蒙特卡洛法（模拟25000次）2.15200.00415模拟次数N一般满足以下条件：𝑁≥100/pfpf为预估的失效概率蒙特卡洛模拟法可靠度指标β失效概率pf验算点法4.35020.0000068蒙特卡洛法2.83820.000007验算点法（论文结果）4.322蒙特卡洛法（论文结果）2.82180.00003计算结果分析过验算点的切平面的法线一般不与0P*重合，这将随着极限状态方程的非线性程度的增大而偏离愈大,因此所得的β值与真正的β相差愈大。如右图所示，例三中计算得到的验算点坐标为(2.08，23.97).但OP*的距离显然不是最短的，所以计算得到的β值(标准化空间中坐标原点到失效面的最短距离)偏大。总结用验算点法将非正态变量当量正态化后，所得的可靠指标有时误差过大。计算表明，当基本随机变量的变异系数超过30%时，由验算点法计算的可靠指标，其结果往往远离精确解。蒙特卡罗法是通过随机模拟和统计试验来求解结构可靠度,它回避了结构可靠度分析中的数学困难,无需考虑功能函数或极限状态曲面的复杂性.蒙特卡洛法不受条件限制，不管极限状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可以得到一个比较精确的失效概率和可靠指标。因此,在结构可靠度计算中,蒙特卡洛法被认为是一种准精确计算方法。拉丁超立方抽样法