2.2互余模型

互余模型五种不同的类型：1、类型一：内部交点型。2、类型二：内部错开型。3、类型三：燕尾型。4、类型四：外部直线型。5、类型五：综合型。ABCDABCEDABCDEABCDEAEDCBO五种不同的类型例1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=900，∠B=∠DAC，求证：AD⊥BC。1、类型一：内部交点型ABCD12∠1+∠2=900∠1=∠B∠B+∠2=900例2、如图，在Rt△ABC中，∠A=900，DE⊥BC，求证：∠B=∠EDC。2、类型二：内部错开型。ABCED例3、如图，AD、BE相交于点C，∠B=900，∠A=∠E，求证：DE⊥AD。3、类型三：燕尾型。ABCDE例4、已知，AC⊥CE，∠ABC=∠DEC=900，AC=CE，且B、C、D在同一直线上。问BD=AB+ED吗？说明理由。4、类型四：外部直线型ABCDE12例5、如图，已知DO⊥BC于点O，BE⊥CD于点E，OC=OA，问CD=AB吗？说明理由。5、类型五：综合型AEDCBO目标∠D=∠B或∠C=∠OAB例5、如图，已知DO⊥BC于点O，BE⊥CD于点E，OC=OA，问CD=AB吗？说明理由。5、类型五：综合型AEDCBO∠D=∠B目标例5、如图，已知DO⊥BC于点O，BE⊥CD于点E，OC=OA，问CD=AB吗？说明理由。5、类型五：综合型AEDCBO目标∠C=∠OAB互余模型综合应用1、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．图1图2图3图1线段BG、DE长度关系所在直线位置关系BG=DE找BG、DE所在结构△BGC、△DEC证全等BG⊥DEM互余模型五：综合型证∠1+∠2=90012证∠3+∠4=90034图1线段BG、DE长度关系所在直线位置关系BG=DE找BG、DE所在结构△BGC、△DEC证全等BG⊥DEM互余模型五：综合型证∠1+∠2=90012证∠3+∠4=90034图212图2图1图2图3MM类型五：综合型类型三：燕尾型类型三：燕尾型2、例7、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.CBOD图7ABAODCE图8BAODCE图82、例7、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.BAODCE图82、例7、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.BAODCE图82、例7、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.BAODCE图82、例7、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.BAODCE图82、例7、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.BAODCE图82、例7、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.BAODCE图82、例7、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.ABCDE1ABCDE13、例8、如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1＝∠B＝∠C．由题设条件，请写出三个正确结论，并说明理由。（要求：不再添加其它字母和辅助线，找结论过程中添加的字母或辅助线不能出现在结论中）32∠2=∠3∠4+∠2=1800-∠B互余模型四：外部直线型4找∠2与∠3相关联的结构∠4+∠3=1800-∠1∠B∠1∠4∠44、例9、（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：DA=DE。△DEC思路一：找DA、DE所在的结构△ADB和△ADC重新构造与△DEC全等的三角形3214M5△ADM∠5=∠4=1200辅助线只需作BM=BD只需证明AM=DCAB-BMBC-BD4、例9、（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：DA=DE。1AE=DE思路二：需证△ADE为等边三角形AD=AE找AD、AE所在的结构AB=AC∠B=∠ACE∠2=∠323除非A、D、C、E四点共圆4、例9、（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：DA=DE。思路三：互余模型三——燕尾型△ADO∽△ECO21O△AOE∽△DOC∠AED=∠OCD=6004、例9、（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：DA=DE。思路四：对称思想角平分线+垂直NM123等腰+垂直平分线只需证明AD=DM456∠4=∠5只需证明∠4=∠6燕尾型4、例9、（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：DA=DE。（2）如图2，四边形ABCD是正方形，M为AB上的一点，BF平分∠CBG，E是BF上一点，若DM⊥ME，与（1）中类似的结论是什么？请说明理由。4、例9、（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：DA=DE。（2）如图2，四边形ABCD是正方形，M为AB上的一点，BF平分∠CBG，E是BF上一点，若DM⊥ME，与（1）中类似的结论是什么？请说明理由。4、例9、（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：DA=DE。（2）如图2，四边形ABCD是正方形，M为AB上的一点，BF平分∠CBG，E是BF上一点，若DM⊥ME，与（1）中类似的结论是什么？请说明理由。4、例9、（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：DA=DE。（2）如图2，四边形ABCD是正方形，M为AB上的一点，BF平分∠CBG，E是BF上一点，若DM⊥ME，与（1）中类似的结论是什么？请说明理由。