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也谈CIERGB到CIEXYZ的转换SMT傅亚炜CIE1931XYZ标准色度观察者色度空间(也有文献中叫颜色模型、色彩空间、色度学系统的,都是一个意思),以下简称CIEXYZ色度空间,是国际上色度计算、颜色测量和颜色表征的统一标准,是几乎所有测色仪器的设计与制造依据。CIEXYZ色度空间的三原色X、Y、Z是假想的,实际上并不存在,因此也无法进行实验测试。XYZ系统所使用的数据,都是根据CIE1931RGB色度空间的实验数据(颜色匹配函数或称光谱三刺激值)、、rgb转换而来的:2.76891.75171.13024.59070.06010.05595.5949XRGBYRGBZGB(1)0.490.310.20.6671.13231.20070.1770.81240.01060.6671.13231.20070.00990.99010.6671.13231.2007rgbxrgbrgbyrgbgbzrgb(2)由于计算精度问题,不同文献中的数值会有微小差异(参见《附录一》)。在一般的文献和教材中都是直接引用上述转换公式,很少有给出推导过程的。少数给出过正统推导过程的[1][2][3],都是从色度图坐标直接先推导出三刺激值,其过程繁琐,且不直观,不利于理解(参见《附录二》)。所以我根据我在MATLAB中绘制色度图的过程,给出了概念清晰的简明推导过程,先从rgb色度坐标导出xyz色度坐标,这样能很直观地看到转换过程对色度图所带来的影响。CIE在推出XYZ色度空间时,提了以下条件:(1)所有三刺激值都是正的,即所有真实色都要落在新的麦克斯韦三角形之内。(2)假想色空间尽量小,即真实色在新麦克斯韦三角形内占的面积尽可能地大。(3)X轴和Z轴上亮度为零,即Y轴代表所有的亮度(光通量)。(4)X、Y、Z相等时同样要合成等能白光E,即白光E的xyz坐标和rgb坐标相同,都是(0.333,0333,0.333)。根据上述要求(1)、(2)、(3),在rg色度图上画出了如下三角形:其中XZ这条线为无亮度线。CIERGB色度空间的亮度方程为:4.59070.0601CRGB(3)其中R、G、B是三刺激值。而色度坐标r、g、b与三刺激值的关系为:RrRGBGgRGBBbRGB(4)这个变换,好多文献称之为“归一化”,实际上是不准确的,我觉得应该称之为“降维”(想起了《三体》中的二向箔),就是把三维图拍扁,全部挤进一个平面里。不多解释,直接上图:降维--上面右图中的三角形就是rgb空间的麦克斯韦颜色三角,可以看到有很多颜色落在麦克斯韦三角之外;三角形三个顶点就是三原色700nm、546.1nm和435.8nm;而其背后是它的投影,也就是rg色度图。把(4)式代入(3)式,无亮度的情况即ΦC等于0,此时分母中的(R+G+B)可以约掉,原式变为:4.59070.06010rgb(5)考虑到1rgb,将1brg代入上式,即得上式在r-g平面内的切线:0.93994.58060.06010rg(6)XY线设为过700nm的切线,对应方程为:0.9910rg(7)因为从546.1nm到700nm虽然近似为一条直线,但多少有点弧度,所以这条直线比135度线略微有点上翘,与g轴的交点是(0,1.01)。YZ线,所有文献中都告诉我们说这是过503nm的一条切线,原因是条件(2),就是令假想色空间最小,但没人给出过严格的证明,估计多少有点拍脑袋决定的成分:1.450.5510rg(8)两两联立上述方程(6)、(7)、(8),利用小学水平的解二元一次方程组可以解得(r,g,b)的三组坐标值:(1.2750,-0.2778,0.0028)、(-1.7391,2.7668,-0.0277)、(-0.7431,0.1409,1.6022)。数值都经过了四舍五入,所以在不同文献中也会略有不同。这三组坐标值的点,我们的目标是要将它们转换为(x,y,z)为(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)的点,所以:1.27501.73910.74310.27782.76680.14090.00280.02771.6022rxgybz(9)将(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)这三组值代入方程右边,就可以很清楚地得到原先的三组(r,g,b)坐标。对上述矩阵求逆即可得:1110.90880.57490.37090.09120.41880.005500.00620.6236xrygzb(10)之所以加了下标1,是因为这并非我们最终所要的(x,y,z)。如下图所示,图中红点代表等能白光E,其rgb坐标是(0.333,0.333,0.333),但是在上述变换后变成了(0.6182,1.1718,0.2099)。从下图中也可以直观地看出,由于rg色度图中在r为负值的左边区域还有着很大一块,所以在将左图的三角形均匀地变形为右图的三角形之后,白点必然是偏向右下的。所以,通过三个顶点坐标求逆得到的图形,三个顶点坐标是正确的;由于其线性性质,三条边的坐标也都是正确的;但是内部是变形的,不能满足条件(4)。为了将白点E变换到(0.333,0.333,0.333),可以再做一个比例变换,即让(10)式中的矩阵的每一行都乘以一个常数,使其满足:0.3330.90880.57490.38090.3330.3330.09120.41880.00550.3330.33300.00620.62360.333xxxyyyzzCCCCCCCC(11)方程(11)两边都乘以3,即可轻松求得:10.53920.90880.57490.370911.93970.09120.41880.005511.58770.00620.6236xyzCCC(12)将(12)式中的系数乘到(10)式,得到一组新的(x,y,z):2220.49000.31000.20000.17700.81240.010600.00990.9901xrygzb(13)这个变换,才是真正意义上的“归一化”,即系数矩阵的每一行加起来都等于1。但是(2x,2y,2z)还不是我们所要的(x,y,z)。因为如上图所示,虽然白点的坐标如愿变成了(0.333,0.333,0.333),但是三个顶点的坐标又不对了,不再是(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)。所以还得对这个看起来已经是扁扁的图形再做一次“降维”打击,即令:2222222222220.490.310.20.6671.13231.20070.1770.81240.01060.6671.13231.20070.00990.99010.6671.13231.2007xrgbxxyzrgbyrgbyxyzrgbzgbzxyzrgb(14)这也就是一开始所给出的(2)式。把光谱色的rgb数据代进去,画出图形来一看,正是我们熟悉的CIE1931标准观察者色度图,也叫“马蹄图”或“舌形图”:如果将直接求逆所得的图形与归一化再降维之后的图形相比较,可以发现它们外面的麦克斯韦三角形是一致的,但是从绿线的对应关系可以直观地看出,降维之后,三角形内部发生了疏密度的变化。我们所要的xy色度图,其绿色端被进行了压缩,而红色端被进行了放大,从而使得等能白光E点往左上移动,到了(0.333,0.333,0.333)的位置。所以XYZ系统与RGB系统相比,不仅是取消了负值,而且颜色分布也更加均匀了(虽然以后会发现这还不够均匀。而均匀,一直是CIE努力的方向,所以才会有后续的CIE1960、1964和1976色度空间)。如下图所示,标上颜色后比较起来更加直观,可明显看到红色区的扩大:以上就是从CIErgb色度坐标到CIExyz色度坐标的转换过程。直观地来说,就是把左边的三角形拉成一个等边直角三角形,然后往绿色端挤一挤。这个过程,并非CIE的原始推理过程,但是数学意义和物理意义很清晰,用到的数学知识很浅显,也很适合于用图形来演示,有助于帮助人们对色度空间的转换有一个直观的感性认识。再来考虑三刺激值的转换。已知CIERGB色度空间的三刺激值R、G、B与色度坐标r、g、b的关系如(4)式所示:RrRGBGgRGBBbRGB(4)在CIEXYZ色度空间中我们同样定义假想三原色的三刺激值X、Y、Z为:XxXYZYyXYZZzXYZ(15)将(4)式和(15)式代入(14)式,约去分母(R+G+B),可得:0.490.310.20.6671.13231.20070.1770.81240.01060.6671.13231.20070.00990.99010.6671.13231.2007XRGBxXYZRGBXRGByXYZRGBXGBzXYZRGB(16)联立(14)式和(16)式,因为对于所有的(x,y,z)这两式都成立,不做严格的数学证明,可以直观地看出至少存在如下解:0.49000.31000.2000K0.17700.81240.010600.00990.9901XRYGZB(17)其中K是一个常数。由于上式中的系数矩阵是归一化的,所以当R=G=B=1时,我们有X=Y=Z=K。再利用一次条件(3),即仅有Y代表亮度,则根据亮度方程(3),有:4.59070.0601YRGB(18)将R=G=B=1代入上式,可得:K=14.59070.06015.6508Y(19)代回(17)式,即得如(1)式所示的三刺激值转换公式。这个系数K是亮度方程中三个系数之和。它的物理意义是,当R、G、B三原色的光通量都为1光瓦(或1流明)时,混合而得的白光的光通量即为5.6508光瓦(流明)。其数学意义是,亮度方程(18)中,当匹配等能光谱色时,在555nm(黄绿光)处Y达到最大值为1,起到归一化的作用。也就是说在实验的精度范围之内,亮度方程Y与明视觉相对光敏函数(光谱光视效率)V应该是一致的。参考文献[1]周恕义,王少华.1931CIE-RGB系统向XYZ系统的转换[J].纺织基础科学学报,1990,(3):72-75.[2]周太明.色度学讲座[M].上海:复旦大学,2004.[3]薛兵,张晓军.高等学校“十二五”规划教材:应用物理[M].西安:西安电子科技大学出版社,2012.附录一:计算精度问题在一般的文献中,三刺激值转换公式均如下所示:2.76891.75171.13024.59070.06010.05655.5943XRGBYRGBZGB(20)而我利用MATLAB求得的公式是:2.76891.75171.13024.59070.06010.05595.5949XRGBYRGBZGB(1)最大误差出现在Z表达式的G分量系数上,其误差超过1%。究其原因,在于1931年的时候,电子计算机或计算器还没有出现,还是用手工和计算尺进行计算的。在联立解方程(6)、(7)、(8)时,如果将结果四舍五入保留到小数点后4位,即:1.27501.73910.74310.27782.76680.14090.00280.02771.6022rxgybz(9)并且计算过程中的中间数据全部保
本文标题:也谈CIE-RGB到CIE-XYZ的转换(附MATLAB程序及数据)
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