选修4-4坐标系与参数方程复习课件

泸溪县第一中学考点1．极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，点O称为极点，射线OX称为极轴．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线OX为始边，射线OM为终边所成的角，那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．由极径的意义可知ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可以取任意角．(2)极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．注意：如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐标．但这样建立的极坐标系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系．(3)极坐标与直角坐标的互化．当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位时，平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则有互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，和ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.2．求曲线的极坐标方程的方法求曲线的极坐标方程的基本步骤与直角坐标系中求曲线方程的基本步骤相同．即：第一步建立适当的极坐标系；第二步在曲线上任取一点P(ρ，θ)；第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常，第五步的过程不必写出，只要对方程进行检验，最后加以确认．3．直线的极坐标方程(1)经过点M(ρ0，θ0)，且与极轴成α角的直线的极坐标方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．特别地，过极点且与极轴成α角的直线的极坐标方程为：θ＝α(ρ∈R)；(2)与极轴垂直且经过点(a,0)(其中a＞0)的直线的极坐标方程为：ρcosθ＝a；(3)与极轴平行且在极轴上方，与极轴距离为a的直线的极坐标方程为：ρsinθ＝a；4．圆的极坐标方程(1)圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为：ρ2－2ρ·ρ0cos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.特别地，以极点为圆心，半径为r的圆的极坐标方程为：ρ＝r；(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的极坐标方程为：ρ＝2rcosθ；(3)圆心在过极点与极轴成π2角的射线上，且过极点，半径为r的圆的极坐标方程为：ρ＝2rsinθ；(4)圆心在(ρ0，θ0)，经过极点的圆的极坐标方程为：ρ＝2ρ0cos(θ－θ0)．5．参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式，它们在形式及分析方法上各具特点又互相补充．(1)参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程的关键是消参，在消参时要注意参数的范围对普通方程的影响．消去参数常用的方法有：代入法，平方法等，要结合参数方程的特点灵活消参．(2)将普通方程化为参数方程将普通方程化为参数方程．一般有如下思路：①F(x，y)＝0―――――→选取参数tx＝fty＝gt(t为参数)；②F(x，y)＝0―――――――――→令x＝ft或y＝gt解出y＝gt或x＝ftx＝fty＝gt(t为参数)．6．常见曲线的参数方程(1)直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论：设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝|tB－tA|＝tB＋tA2－4tA·tB，线段AB的中点所对应的参数值等于tA＋tB2.(2)圆的参数方程圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的参数方程为x＝x0＋rcosθy＝y0＋rsinθ(θ为参数0≤θ≤2π)．(3)椭圆的参数方程①椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数0≤θ≤2π)；②椭圆x－x02a2＋y－y02b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为x＝x0＋acosθy＝y0＋bsinθ(θ为参数)．(4)双曲线的参数方程①双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为x＝asecθy＝btanθ(θ为参数，其中secθ＝1cosθ)；②双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为x＝btanθy＝asecθ(θ为参数)；(5)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．(6)圆的渐开线的参数方程为x＝rcosθ＋θsinθy＝rsinθ－θcosθ(θ为参数)．(7)平摆线的参数方程为x＝rθ－sinθy＝r1－cosθ(θ为参数).典例题型一极坐标与直角坐标的互化例1.极坐标方程ρ－cosθ＋3sinθ＝0表示的圆的半径r＝________.解析：把方程化为ρ2－ρcosθ＋3ρsinθ＝0，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＋3y＝0，∴(x－12)2＋(y＋32)2＝1，故所求的圆的半径r＝1.变式1极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0的直角坐标方程为________．答案x2＋y2＝0或x＝1解析∵ρ(ρcosθ－1)＝0，∴ρ＝0或ρcosθ＝1，∴x2＋y2＝0或x＝1.变式2在极坐标系中，已知点A(1，3π4)和B(2，π4)，求A、B两点间的距离．解析∵A，B两点的极角相差3π4－π4＝π2，∴在Rt△AOB中，AB＝12＋22＝5.变式34ρsin2θ2＝5表示的曲线是()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线答案D解析4ρsin2θ2＝4ρ·1－cosθ2＝2ρ－2ρcosθ＝5，化为直角坐标方程为2x2＋y2－2x＝5，化简得y2＝5x＋254，显然该方程表示抛物线，故选D.题型二参数方程与普通方程的互化例2.将参数方程x＝2＋sin2θy＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程．解析将sin2θ＝y代入x＝2＋sin2θ得x＝2＋y，即x－y－2＝0.∵sin2θ∈[0,1]，∴x∈[2,3]，y∈[0,1]，∴普通方程为x－y－2＝0，x∈[2,3].变式4.曲线C的参数方程为x＝cos2θy＝2sin2θ－3(参数θ∈R)直线l的方程为x－y＋5＝0，求直线l与曲线C的交点个数．错解曲线C的参数方程化为普通方程是：2x＋y＋1＝02x＋y＋1＝0x－y＋5＝0⇒x＝－2y＝3∴直线l与曲线C的交点是(－2,3)，只有一个交点．点击曲线C的参数方程化为普通方程时要注意参数的范围以及参数形式的值域．在本题中要注意到x＝cos2θ∈[0,1]．正解∵x＝cos2θ∈[0,1]∴曲线C的参数方程化为普通方程是：2x＋y＋1＝0(x∈[0,1])表示一条线段．2x＋y＋1＝0x－y＋5＝0⇒x＝－2y＝3，－2∉[0,1]∴直线l与曲线C无交点.题型三直线的参数方程例3.已知直线l经过点A(1,2)，倾斜角为π3.(1)求直线l的参数方程；(2)求直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积．分析根据直线参数方程中参数t的几何意义，运用一元二次方程根与系数的关系求解．解析(1)直线l的参数方程为x＝1＋t2y＝2＋32t(t为参数)．(2)将x＝1＋t2y＝2＋32t代入x2＋y2＝9，得：t2＋(1＋23)t－4＝0，∴t1t2＝－4.由参数t的几何意义得直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积为|t1t2|＝4.点评涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方程．直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．其中k＝tanα(α≠90°)，α为直线的倾斜角，则参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数).变式5直线x＝－2－2ty＝3＋2t(t是参数)的倾斜角的大小是________．答案34π解析直线l化为普通方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为34π.题型四圆的参数方程例4.在圆x2＋y2－4x－2y－20＝0上求两点A和B，使它们到直线4x＋3y＋19＝0的距离分别是最短和最长．分析利用圆的参数方程求解．解析将圆的方程化为参数方程：x＝2＋5cosθy＝1＋5sinθ(θ为参数)，则圆上点P的坐标为(2＋5cosθ，1＋5sinθ)，则它到所给直线的距离d＝|20cosθ＋15sinθ＋30|42＋32.故当cos(φ－θ)＝1，其中cosφ＝45，sinφ＝35.即θ＝φ时，d最长，这时点A坐标为(6,4)；当cos(φ－θ)＝－1，即θ＝φ－π时，d最短，这时点B坐标为(－2，－2)．点评若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为x＝x0＋Rcosθ，y＝y0＋Rsinθ，0≤θ＜2π.圆的参数方程常和三角变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.变式6在椭圆x216＋y212＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离最小．解析设椭圆的参数方程为x＝4cosθ，y＝23sinθ，(θ为参数)，d＝|4cosθ－43sinθ－12|5＝455|cosθ－3sinθ－3|＝455|2cos(θ＋π3)－3|，当cos(θ＋π3)＝1时，dmin＝455，此时所求点为(2，－3).题型五利用参数法求轨迹方程例5.已知两点M(－2,2)、N(0,2)，直线l过原点，且以v＝(1,1)为方向向量，设长为2的线段AB在直线l上移动，且B点在A点的右上方．求直线MA和NB交点P的轨迹方程．分析用参数法求轨迹方程，设A(t，t)，B(t＋1，t＋1)．解析由v＝(1,1)，直线l过原点，得直线l的方程是y＝x，设A(t，t)，B(t＋1，t＋1)，直线MA的方程为y－2＝t－2t＋2(x＋2)，直线NB的方程为y－2＝t－1t＋1x，则直线MA和NB交点P的坐标为x＝t2－t－2t，y＝t2－t＋2t，消去参数t，得点P的轨迹方程：(y＋1)2－(x＋1)2＝8(x≥0，y≥2)．点评求轨迹方程时，当变量之间的关系不易建立时，可通过中间变量来联系．然后消去中间变量．这是参数方程求轨迹的常用方法；注意解析几何的一些常见的解题技巧.变式7一条动直线上取定三个点A，B，C，其中A、B两点分别在一个直角的两边上滑动．求C点的轨迹．解析把直角的两边视为x正半轴与y正半轴，直线上的两点B与A分别在x轴上与y轴上滑动，如图所示，设AC＝a，BC＝b，设C点坐标为(x，y)，∠OBA＝φ，则x＝acosφ，y＝bsinφ，(*)(*)恰为椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程，即C的轨迹是以a与b为半轴的一个椭圆.题型六利用参数方程求最值例6.已知点P(x，y)是椭圆x24＋y2＝1上的动点．(1)求z＝x2＋y2的最大值和最小值；(2)求t＝2x＋y的最大值和最小值．分析利用椭圆的参数方程，最终转化为求三角函数的最大值和最小值．解析椭圆的参数方程为x＝2cosθ，y＝sinθ，(θ为参数)则(1)∵z＝x2＋y2＝4cos2θ＋sin2θ＝1＋3cos2θ，∴当cosθ＝±1，即x＝±2时，z的最大值为4；当cosθ＝0，即x＝0时，z的最小值为1.(2)∵t＝2x＋y＝4cosθ＋sinθ＝17sin(θ＋φ)，其中tanφ＝4，当sin(θ＋φ)＝1时，t的最大值为17；当sin(θ＋φ)＝－1时，