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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 项目/工程管理 > 第五讲---等边三角形
1/821NMFEDBCA第五讲等边三角形考点方法破译1.等边三角形及其性质:三边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60.等边三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线;2.等边三角形的判定:三边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形;3.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,反之也成立.经典考题赏析【例1】如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,A、C、B三点在一条直线上.AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.(1)求证:△ACE≌△DCB;(2)求∠AFD的度数;(3)判断△CMN的形状【解法指导】根据等边三角形的性质,利用全等三角形中边角的关系可解决问题.解:(1)∵等边三角形DAC与等边三角形EBC∴AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB∴在△ACE和△DCB中,CBCEDCBACEDCAC,∴△ACE≌△DCB(2)∵∠ACE≌∠DCB,∴∠1=∠2又∵∠1+∠DFA==∠2+∠ACD∴∠AFD=∠ACD=60°2/8EPQDCABEPQDCAB(3)在△ACM和△DCN中,6012DCNACMDCAC∴△ACM≌△DCN∴CM=CN又∵∠DCN=60°∴△CMN是等边三角形.【变式题组】01.(天津)如图,P、Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC的大小等于__________度02.(荆州)如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.03.如图,在正△ABC中,D,E分别是BC、AC上的一点,且AE=CD.AD与BE相交于点P,且BQ⊥AD于Q.求证BP=2PQ04.(黄冈)如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q是BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC于D,求DE的长.CQPBAEDCBA3/8【例2】P是△ABC内一点,∠PBC=30°,∠PBA=8°,且∠PAB=∠PAC=22°,求∠APC的度数【解法指导】由于∠PAB=∠PAC,因而PA平分∠BAC,根据角平分线的特点可构造全等三角形,其方法一:在AB边上截取;方法二:延长AC边,又由于∠BPA=150°是特殊角,考虑∠BPA的完整性,因而取方法二的可能性更大.解:延长AC到D,使AD=AB,连接PD、BD,∵∠PBA=8°∠PAB=22°∴∠BPA=150°,在△ABP和△ADP中,APAPDAPBAPADAB∴△ABP≌△ADP∴∠APB=∠APD=150°,BP=DP,∠PBA=∠APD=8°∴∠BPD=60°,∴△BPD是正三角形∵∠PBC=30°∴∠PBC=∠DBC在△PBC和△DBC中,BCBCDBCPBCBDBP∴△PBC≌△DBC,∴PC=CD∴∠CPD=∠CDP=8°∴∠APC=∠APD一∠CPD=150°一8°=142°【变式题组】01.如图,D是等边三角形ABC内一点,E为ABC外部一点,满足DA=DB,BE=BA,∠DBE=∠DBC.求∠BED的度数.PCBADPCBAEDCAB4/8(4)NMGDCBA02.如图.D是△ABC外一点.AB=AC=BD+CD,∠ABD=60°求∠ACD的度数.【例3】如图(1),△ABC等边三角形,△BDC是顶角120°的等腰三角形,以D为顶点作60°的角,它的两边分别与AB、AC交于点M和N,连接MN.(1)探究:MN、NC之间的关系,并加以证明;(2)若点M、N分别在射线AB、CA上,其他条件不变,再探究线段BM、MN、NC之间的关系,在图(2)中画出相应的图形.并就结论说明理由【解法指导】对于(1),这时在△DMB中,有∠DBM=∠DBC+∠CBA=30°+60°=90°为了把BM,MN,NC集中到一个三角形中去,将△DMB绕D点顺时针旋转120°得到△DGC.如图(3).从而有MB=GC.而此时恰又有△MND≌△GND·得MN=NG=NC+CG=NC+BM.对于(2),此时的图形(4),仍作(1)中的旋转,类似地可以推得MN=CN一BM解(1)关系为MN=BM+NC证明:延长AC到G,使CG=BM,连接DG,如图(3)DCAB(1)NMDCBA(2)DCBA(3)NMGDCBA5/8∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°十30°=90°同理也有∠ACD=90°在△DMB和△DGC中;DB=DC.BM=CG∴△DMB≌△DGC∴DM=DG.∠MDB=∠GDC.在△MND和△GND中,ND公用,DM=DG,∠MDN=60°∠GDN=∠GDC+∠DCN=∠MDB+∠CDN=60°∴△MND≌△GND∴MN=GN=GC十NC=BM+NC(2)此时.图形如图(4),有关系式MN=CN—BM理由如下:在CN上截取GG=BM.连接DG,如图(4)与(1)中情况类似.可推得∠ABD=∠ACD=90°.且Rt△DMB≌△DGC,得DM=DG.∠MDB=∠GDC仍与(1)中情况娄似,可推得△MND≌△GND.就有MN=GN=NC—CG=NC—BM.【变式题组】01.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD,把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合.两边分别与AB、AC重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E,F时,(如图1),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?并证明你的结论;(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图2),你在(1)中得到的结论还成立吗,简要说明理由.6/802.如图.四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°求证:AC=BC+DC.巩固练习反馈提高01.如图.△ABC是等边三角形,AD⊥BC,点E在AC上,且AE=AD,则∠DEC=()A105°B85°C95°D75°02.如图,等边△ABC,D在AC上,延长BC到E.使CE=CD,若BD=DE,给出下列结论:①BD平分∠ABC②AD=21AB③CE=21BC④∠A=2∠E,其中正确结论的个数是()A.4个B3个C2个D1个03.(河北)如图,等边△ABC的边长为1cm,D、E分别是AB、AC上的点,将△ABC沿直线DE折叠,点A落在A’处,且A’在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为__________cm04.在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°,得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,则AP=__________.DCBABEDCABEDCAODBPCADEBFCA第3题图第4题图第5题图7/805.如图,△ABC是等边三角形,D、E、F分别在AB、BC、AC上,且DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,试判断△DEF是否为等边三角形,并说明理由.06.请你用三种不同的分割方法,将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线,并标出必要的角的度数).07.如图,点D是等边△ABC边AB上的一点.AB=3AD,DE⊥BC于点E,AE、CD相交于点F(1)求证:△ACD≌△BAE:(2)过点C作CG⊥AE,垂足为点G,探究CF与FG之间的数量关系,并证明.EDBFCA8/808.如图:△ABC是等边三角形,D是AB边上的点,将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,延长ED交AC于点F,连接DC,AE.求证:△ADE≌△DFC09.如图:△ABC是等边三角形,点D、E分别在CA、AB的延长线上,AD=BE.DB的延长线交EC于F.求证:(1)DB=EC;(2)∠BFC=60°10.(常德)如图1,若△ABC与△ADE为等边三角形,M、N分别是EB、CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.(1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若成立请证明,若不成立请说明理由.FEDBCAFEDCBA(2)EDBNMCA(1)
本文标题:第五讲---等边三角形
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