高二数学立体几何专题资料：空间的垂直关系与平行关系

1空间的垂直关系[基础要点]一、直线与平面垂直1.定义：若一条直线l和一个平面内的，则称这条直线l和平面互相垂直2.判定方法：（1）定义：（2）判定定理：（3）其他方法：//aba；//a；laal3.性质定理：ab二、两个平面垂直1.定义：两个平面相交，若，则称这两个平面垂直2.判定定理：3.性质定理：a；b三、三垂线定理及逆定理图形三垂线定理逆定理文字语言符号语言题型一、线线垂直的问题例１、已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AE⊥PB于E，EF⊥PC于F（１）求证：AF⊥PC（２）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD变式：已知l，PA⊥，PB⊥垂足分别为A、B，又AQ⊥l，垂足为Q,连结BQ，求证:BQ⊥l题型二、线面垂直的问题例２、某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.证明：直线BD平面PEG.变式：如图示，已知V是△ABC所在平面外一点，VN垂直于平面ABC，且垂足N在△ABC的高CD上，M是VC上的一点，MDCCVN求证：VC⊥平面AMB题型三、面面垂直问题例３、如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD底面，APOaABCDMNVABCDEFGHP2点E在棱PB上,求证：平面AECPDB平面；变式:△ABC是正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CD,CE=CA=2BD,M是EA的中点，（１）求证：DE=DA（２）面BDM⊥面ECA（３）面DEA⊥面ECA题型四、垂直问题的转化例４、如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，oPAD90,求证：AP平面ABCD；变式：如图示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,AN⊥PC于N(1)求证:BC⊥面PAC(2)求证：PB⊥面AMN(3)设PA=AB=4,设∠BPC=，试用tan表示△AMN的面积，当tan取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？[自测训练]1、已知,表示平面，,mn表示直线，下列命题中正确的是（）A、若//,,mn，则//mnB、若,,mn，则mnC、若,,//mnmn，则//D、若//,//,mnmn，则2、已知直线,mn与平面,，给出下列三个命题：①若//,//mn，则//mn②若//,mn，则nm③若,//mm，则//其中真命题的个数是（）A、0B、1C、2D、33、如图示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，现在沿DE、DF把△ADE、△CDF、△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P，那么在四面体P-DEF中，必有（）A、DM⊥面PEFB、PM⊥面DEFC、面PDE⊥面PEFD、面PDE⊥面DEF4、直线a不垂直于平面，则内与a垂直的直线有（）A、0条B、1条C、无数条D、内所有直线5、点P是△ABC所在平面外一点，且到三边的距离相等，点O是P在平面ABC内的射影，且点O在三角形内，那么点O是△ABC的（）A、垂心B、内心C、外心D、重心6、已知,mn是不重合的两条直线，,是不重合的两个平面，有下列命题：①若,//mn，则//mn②若//,//mn，则//③若,//nmn，则//m且//m④若,mn，且//mn，则//其中真命题的个数是（）A、4B、3C、2D、1ABCPMNCBADFEMDFEMP(A,B,C)ABCDP37、如图，P为正方体1111ABCDABCD的中心，△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）ABCDA1B1C1D1P(1)(2)(3)(4)A、(1)、(2)、(3)、(4)B、(1)、(3)C、(1)、(4)D、(2)、(4)8、对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若,ABACBDCD，则BCAD②若,ABCDACBD，则BCAD③若,ABACBCCD，则BCAD④若,ABCDBDAC，则BCAD其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）9、在平面几何里，有勾股定理：“设三角形ABC的两边AB、AC互相垂直，则222ABACBC”,拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直，则”10、直三棱柱中，12,90ACBCAAACB,E为1BB的中点，190ADE,求证：CD⊥平面11AABB空间的平行关系[基础要点]1.公理4：用符号表示如下：设,,abc为直线，//ab且//bc，则ac2.等角定理：空间中若两个角的两边分别对应，且方向，则这两个角相等3.直线与平面平行（1）定义：如果，则这条直线和这个平面平行（2）判定：①用定义②判定定理：//a（3）性质定理：//aab4.平面与平面平行（1）定义：，就说这两个平面平行（2）判定：①用定义②判定定理：//（3）性质定理：①//a②//ab③//l题型一、直线与直线平行例1、如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线平行于这两个平面的交线设平面l，直线//,//aa，如图示，求证：//alla4变式：如图示，,,abc，且//ab，求证：////abc题型二、直线与平面平行例2、已知A、B、C、D四点不共面，M、N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN//平面ACD变式：如图示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,,MACNFB且AM=FN，求证:MN//平面BCE题型三、平面与平面平行例4、P是△ABC所在平面外一点，111,,ABC分别是△PBC、△PAC、△PAB的重心，（1）求证：平面111,,ABC//平面ABC(2)求△111ABC与△ABC的面积之比变式：如图示，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCDEF中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且//AFCD，求证：平面FBD//平面ACE题型四、平行关系的转化例4、已知AB、CD是夹在两个平行平面,之间的线段，MN分别为AB、CD的中点，求证：MN//平面变式：已知平面四边形ABCD在平面内的正投影是一个平行四边形1111ABCD，求证：四边形ABCD是平行四边形[自测训练]1、已知下列命题：①一条直线和另一直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行③若直线l与平面不平行，则l与内任一直线都不平行④与一平面内无数条直线平行的直线必与此平面平行其中正确的个数是（）A、0个B、１个C、２个D、３个2、下列命题中，不正确的是（）bcaEFCADMBNPABC1A1B1CABCDEFABCD1A1B1C1D5A、一条直线和两个平面,所成的角相等，那么//B、两个平面,,//，则内的任意直线平行于平面C、一个三角形有两条边所在直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D、分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线10、若a是△ABC两边中点的连线，为过第三边的一个平面，那么（）A、//aB、aC、//a或aD、以上都不对3、,,abc为三条不重合的直线，,,为三个不重合的平面，现给出六个命题：①//////acabbc②//////aabb③//////cc④//////⑤//////acac⑥//////aa其中正确的是（）A、①②③B、①④⑤C、①④D、①④⑤⑥4、已知平面∥平面，P是,外一点，过点P的直线m与,分别交于A、C，过点P的直线n与,分别交于B、D,且6,9,8PAACPD，则BD的长为（）A、16B、24或245C、14D、205、已知平面⊥平面，,lPl，则给出下面四个结论：①过点P和l垂直的直线在内②过P和垂直的直线在内③过P和l垂直的直线必与垂直④过P和垂直的平面必与l垂直其中正确的是（）A、②B、③C、①④D、②③6、平行四边形的一个顶点A在平面内，其余三个顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到的距离可能是：①1，②2，③3，④4以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号)7、已知,mn是不同的直线，,是不重合的平面，给出下列命题：①若//m，则m平行于内的任意一条直线②若//,,mn，则//mn③若,,//mnmn，则④若//,m，则//m上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）8、有以下四个论断：①平面与平面,所成的锐角二面角相等②直线//,aba平面，b平面③,ab是异面直线，,ab，且//,//ab④平面内距离为d的两条平行直线在平面内的射影仍为两条距离为d的平行线其中能推出//的条件有（填写所有正确条件的代号）9、若两个平面分别平行于第三个平面，则这两个平面互相平行已知：//,//，求证：//10、在正方体1111ABCDABCD中，已知正方体的棱长为2，M、N分别在其对角线1AD与BD上，若AMBNx（1）求证：//MN平面11CDDC（2）设MNy，求()yfx的表达式（3）求MN的最小值，并求此时x的值（4）求1AD与BD所成的角