抛物线教案

抛物线教案：抛物线及其标准方程索争科攀钢一中【教学目的】1．掌握抛物线的定义及其标准方程；2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系；3．认识抛物线的变化规律.【教学重点】抛物线的定义及标准方程【教学难点】区分标准方程的四种形式【课时安排】两课时【教学过程】第一课时一、导入新课：通过前面的学习，我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？用自制的抛物线作图演示模板作出抛物线，然后得出结论，曲线就是初中见过的抛物线。下面，我们就将学习抛物线的定义及其标准方程。二、讲授新课：1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程。2．抛物线的标准方程：①推导过程：取过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，线段KF的中垂线为y轴，建立直角坐标系xOy（如图8—20）。设|KF|=p(p＞0)，那么焦点F的坐标为（)0,2p，准线l的方程为.2px设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d。由抛物线的定义知，抛物线就是集合}|||{dMFMP.|2|)2(|,2|,)2(||2222pxypxpxdypxMF将上式两边平方并化简，得y2=2px（p0）①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是).0,2(p它的准线方程是2px。②抛物线标准方程的四种形式：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=－2px，x2=2py，x2=－2py。这四种抛物线的图形，标准方程，焦点坐标以及标准方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程pxy22(p＞0))0,2(p2pxpxy22(p＞0))0,2(p2pxpyx22(p＞0))2,0(p2pypyx22(p＞0))2,0(p2py③注意：ⅰ．当且仅当顶点在原点，焦点在坐标轴上时，抛物线的方程才是标准方程。由于焦点可在x轴正半轴上，或x轴负半轴上，也可在y轴正半轴上，或y轴负半轴上，故抛物线的标准方程共有四种形式。ⅱ．参数p叫做焦准距，它是抛物线形状的决定量。因此，确定抛物线的标准方程，关键是定位——确定形式、定量——确定p值。下面，我们通过例题来熟悉一下抛物线标准方程、焦点坐标与准线方程的相互关系.例1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）xy62（2）0292yx（3）)0(22aaxy解：（1）因为p=3,所以焦点坐标是),0,23(准线方程是23x。（2）方程可化为yx922，∴91p。故焦点坐标是),181,0(准线方程是181x。（3）方程可化为)0(212ayax∴||41ap。当0a时，开口向下，焦点坐标是),81,0(a准线方程是ax81；当0a时，开口向下，焦点坐标是),81,0(a准线方程是ax81；∴当0a时，焦点坐标是),81,0(a准线方程是ax81；小结：抛物线)0(2mmyx的焦点坐标是),41,0(m准线方程是mx41；抛物线)0(2mmxy的焦点坐标是),0,41(m准线方程是my41例2根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（0，－2）；（2）过点A（4，－2）；（3）焦点为椭圆1366422yx的顶点。解：（1）∵焦点在y轴的负半轴上，并且,4,22pp∴所求抛物线的标准方程是x2=－8y.（2）∵点A在第四象限，满足条件的抛物线应有两种：①焦点在x轴的正半轴上，可设抛物线的标准方程为y2=2px（p0）∵抛物线过点A（4，－2），∴4=8p，p=21。∴抛物线的标准方程为y2=x②焦点在y轴的负半轴上，可设抛物线的标准方程为x2=－2py（p0）同理可求得抛物线的标准方程为x2=－8y。（3）由于椭圆有四个顶点：A1（－8，0）、A2（8，0）、B1（0，－6）、B2（0，6），∴对应有四种抛物线的标准方程，分别为为y2=－32x，y2=32x，x2=－24y，x2=24y。说明：确定抛物线的标准方程，要抓好定位——确定形式、定量——确定p值两方面。三、课堂练习：课本P118练习1，2，3.四、课堂小结通过本节学习，要求大家掌握抛物线的定义及其标准方程，并掌握抛物线的焦点、准线及方程的相互关系，并能应用它解决一些相关问题.五、课后作业习题8.51，2，3，4.六、板书设计七、教学后记§8.5.1……1．抛物线定义推导过程四种形式学生练习………………2．抛物线的标…………准方程.第二课时一、导入新课：上节棵我们学习了抛物线的定义及其标准方程。今天，我们继续学习抛物线。二、讲授新课：例3已知抛物线的准线是直线l：03yx，焦点为F（1，4），求它的方程。分析：很明显，抛物线方程不是标准方程，不能用待定系数法。这时应依据抛物线定义求抛物线方程。解：设P（x，y）是抛物线上任一点。由抛物线的定义知：抛物线就是点集lPdPFPM|||∴2|3|)2()1(22yxyx化简得0252210222yxyxyx∴所求抛物线方程为0252210222yxyxyx说明：①当且仅当顶点在原点，焦点在坐标轴上时，抛物线的方程才是标准方程；②求非标准方程，应紧抓定义。变式训练：若点M（x,y）满足2|3|)2()1(22yxyx,则点M的轨迹是.例4点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：05x的距离小1，求点M的轨迹方程分析：此题可用直接法求点M的轨迹方程。但仔细分析条件，不难发现：①点M只能在直线l：05x的右侧；②点M到直线1l：04x的距离比它到直线l：05x的距离小1。所以点M的轨迹实质是以点F（4，0）为焦点，直线1l：04x为准线的抛物线。解：由已知知：点M的轨迹是以点F（4,0）为焦点，直线1l:04x为准线的抛物线.∵8p，顶点在原点，开口向右，∴点M的轨迹方程是xy162。变式训练：求到定点F(2，0)的距离比到y轴的距离大2的点M的轨迹。注意：要考虑点M与点F同y轴的相对位置关系。例5一条隧道的横断面由抛物线弧和一个矩形的三边围成（如图），长车空车时能通过隧道。现装一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，此车还能通过此隧道吗？分析：这是一个实际问题。首先须明确此车能否通过此隧道的判断方法——距道路中心线1.5米处，隧道高度和车与箱共高的关系；于是，问题化归为求抛物线弧上对应点到地面的距离。这需要建立抛物线的方程。解：如图建立直角坐标系。依题意)3,3(A、)3,3(B设抛物线方程为)0(22ppyx，则)3(29p，23p∴抛物线方程为)03(32yyx设抛物线上一点D的坐标为),5.1(0yD，则0235.1y，430y。∴点D到地面的距离为543=4.25(米)4.5米。所以，此车不能通过此隧道。例6斜率为1的直线经过抛物线xy42的焦点，与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。分析：实质是求直线被抛物线截得的弦长，注意弦长求法。解：抛物线xy42的焦点为F（1，0），过焦点且斜率为1的直线方程为：1xy由xyxy412消去y得：0162xx（﹡）∴81||||221kxxAB说明：注意此弦过焦点，若利用抛物线定义可有如下解法：∵抛物线xy42的焦点为F（1，0），准线为1x∴1||1xAF，1||2xBF∴8262||21xxAB例7设M是抛物线)0(22ppxy上一点，MN⊥x轴于N，MN的垂直平分线交抛物线与Q，直线NQ交y轴于T。求证：||32||MNOT分析：注意分析几何条件，充分利用几何性质求解。解：设R为MN的中点，设M（2pt2，2pt），则N（2pt2，0），R（2pt2，pt），由pxpt2)(2得221ptx∴Q（221pt，pt）。∵QR∥ON∴△ONT∽△RQN∴||||||||RQONNROT即||||||||RQNRONOT||32212||212222MNptptMNpt三、课堂练习：四、课堂小结通过本节学习，要求大家进一步掌握抛物线的定义及其标准方程，并注意抛物线的几何特征。五、课后作业六、板书设计七、教学后记抛物线的简单几何性质【教学目的】1.掌握抛物线的几何性质；2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程．【教学重点】抛物线的几何性质【教学难点】几何性质的应用【课时安排】两课时【教学过程】第一课时一、复习回顾：简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答)。这一节,我们根据抛物线的标准方程)0(22ppxy来研究抛物线的几何性质。二、讲授新课1．范围：当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。(但应让学生注意与双曲线一支的区别，无渐近线)。2．对称性：抛物线关于x轴对称。我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴。3．顶点：抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点。标准方程时顶点为坐标原点。4．离心率：抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫抛物线的离心率，用e表示。由抛物线定义可知，e=1。说明：对于其余三种形式的抛物线方程，要求自己得出它们的几何性质，这样，有助于学生掌握抛物线四种标准方程。下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质.例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，并且经过点M(2，22)，求它的标准方程，并用描点法画出图形。由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p，即需定位——确定形式、定量——确定p值。解:因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，22)，所以可设它的标准方程为：)0(22ppxy因为点M在抛物线上，所以22)22(2p，即2p因此所求方程是xy42。下面列表、描点、作图：x01234……y0±2±2.8±3.5±4……说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤；②抛物线没有渐近线；例2.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置.分析:此题是根据已知条件求抛物线的标准方程,关键是选择建立恰当的坐标系,并由此使学生进一步认识坐标法.解:如图8—25,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程是)0(22ppxy。由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程得：445402302pp即。∴所求抛物线的标准方程是xy2452,焦点坐标是(845,0).说明:此题在建立坐标系后,要求学生能够根据抛物线的图形确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数p.为使大家进一步掌握坐标法,我们来看下面的例3:例3.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22ppxy上，求这个正三角形的边长。分析：观察图8—26，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们的公共的对称轴，则容易求出三角形的边长。解:如图8—26,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为),(),,(2211yxyx,则:OBOApxypxy又,2,2222121,所以22222121yxyx.21212121212221212221,02,0,00)2)((0)(2)(,022xxpxxpxxxxxxpxxpxpxxx即由此可得,21yy,即线段AB关于x轴对称,因为x轴垂直于AB,且030AOx,所以3330tan11xy..