概率论与数理统计猴博士

实用文档文案大全概率论第一课一、无放回类题目例1：盒子中有4红3白共7个球，不用眼瞅，七个球摸起来是一样的，现无放回的摸4次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少？P=C条件一总条件一取×C条件二总条件二取C总取P=C42×C32C74例2：隔壁山头共有11只母猴儿，其中有5只美猴儿、6只丑猴儿，在大黑天看起来是一样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来5只，问天亮后，发现有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少？P=C条件一总条件一取×C条件二总条件二取C总取P=C52×C63C115关于Cnm的计算：二、有放回类题目例1：盒子中有5红6白共11个球，不用眼瞅，11个球摸起来是一样的，现有实用文档文案大全放回的摸5次，那摸出两个红球三个白球的概率是多少？例2：在小弟为我抓回的5只母猴儿中，有2美3丑，每天我都随机挑一只母猴儿来，为她抓虱子。就这样，过去了101天，抓了101次虱子，问这101次中，为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少？三、需要画图的题目例1：已知0x1，0y1，求xy的概率是多少？①表现已知条件②表现待求概率的条件③找出①②重合部分④P(xy)=③①=12例2：已知−1x1，−1y1，求x²+y²1的概率是多少？实用文档文案大全P(x2+y21)=S圆S正=π×124=π4四、条件概率公式：P(B|A)=P(AB)P(A)解释：事件A：掷一次骰子，朝上点数大于3事件B：掷一次骰子，朝上点数是6P(B|A)：掷一次骰子，已知朝上点数大于3，朝上点数是6的概率P(AB)：掷一次骰子，朝上点数是6的概率P(A)：掷一次骰子，朝上点数大于3的概率例1：小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少？事件A：小明得60分以上事件B：小明得80分以上P(B|A)：小明得60分以上时，小明得80分以上的概率P(AB)：小明得80分以上的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=80％85％=1617例2：某地区今年会发生洪水的概率是80%，今明两年至少有一年会发生洪水的概率是85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水的概率是多少？事件A：今年没有发生洪水事件B：明年发生洪水P(B|A)：今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率P(AB)：今年没有发生洪水，明年发生洪水的概率实用文档文案大全P(B|A)=P(AB)P(A)=85％−80％1−80％=5％20％=14五、全概率公式公式：A、B…等个体均可能发生某事，则P(发生某事)=P(A出现)·P(A发生某事)+P(B出现)·P(B发生某事)…例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障的概率。P(有客车发生故障)=P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障)=20%×0.002+80%×0.01=0.0084例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，那么抽中的员工通过考核的概率是多少？P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)=50％×100％+50％×1％=50.5％六、贝叶斯公式公式：A、B…等个体均可能发生某事，则P(已知有个体发生某事时，是A发生的)=P(A出现)·P(A发生某事)P(发生某事)例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。P(有客车发生故障)=P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障)=20%×0.002+80%×0.01实用文档文案大全=0.0084P(已知有客车发生故障，是高速客车发生的)=P(高速客车出现)·P(高速客车故障)P(有客车故障)=20％·0.0020.0084=121例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时，被抽中的员工是傻狍子的概率。P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)=50％×100％+50％×1％=50.5％P(已知有员工通过考核，是傻狍子通过的)=P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)P(抽中的员工通过考核)=50％·1％50.5％=1101实用文档文案大全概率论第二课七、已知𝐅𝐗(x)与𝐟𝐗(x)中的一项，求另一项公式：fX(x)=FX′(x)FX(x)=∫fX(x)dxx−∞例1：设X的分布函数FX(x)={0，x1lnx，1≤x𝑒1，x≥e，求X的密度函数fX(x)。fX(x)=FX′(x)={0′，x1(lnx)′，1≤x𝑒1′，x≥e⇒{0，x11𝑥，1≤x𝑒0，x≥e⇒{1x，1≤x𝑒0，其他例2：设X的密度函数fX(x)={−12x+1，0≤x≤20，其他，求X的分布函数FX(x)。当x2时，FX(x)=∫fX(x)dxx−∞=1当0≤x≤2时，FX(x)=∫fX(x)dxx−∞=−x24+x当x0时，FX(x)=∫fX(x)dxx−∞=∫0dxx−∞=0FX(x)={0，x0−x24+x，0≤x≤21，x2八、已知𝐅𝐗(x)与𝐟𝐗(x)中的一种，求P公式：P(aXb)=FX(b)−FX(a)=∫fX(x)dxba例1：设X的分布函数FX(x)={0，x1lnx，1≤x𝑒1，x≥e，求概率P(x24)P(x24)=P(−2x2)=FX(2)−FX(−2)=ln2−0实用文档文案大全=ln2例2：设X的密度函数fX(x)={−12x+1，0≤x≤20，其他，求概率P(−1x2)P(−1x2)=∫fX(x)dx2−1=∫fX(x)dx0−1+∫fX(x)dx20=∫0dx0−1+∫(-12x+1)dx20=0+1=1九、𝐅𝐗(x)或𝐟𝐗(x)含未知数，求未知数公式：FX(−∞)=0，FX(+∞)=1，F上(分段点)=F下(分段点)∫fX(x)dx+∞−∞=1例1：设X的分布函数FX(x)={0，x≤0a+be−λx，x0(λ0)，求a和b。FX(+∞)=1⇒a+be−λ·(+∞)=1⇒a+be−∞=1⇒a+be+∞=1⇒a=1F上(0)=F下(0)⇒0=a+be−λ·(0)⇒0=a+be0⇒a+b=0{a=1a+b=0⇒{a=1b=−1例2：设X的密度函数fX(x)={ax+1，0≤x≤20，其他，求常数a。∫fX(x)dx+∞−∞=1⇒∫fX(x)dx0−∞+∫fX(x)dx20+∫fX(x)dx+∞2=1⇒∫0dx0−∞+∫(ax+1)dx20+∫0dx+∞2=1⇒0+2a+2+0=1解得a=−12实用文档文案大全十、求分布律例1：从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示从中取出的最大号码，求其分布律。X可能的取值为3，4，5，6P(X=3)=C22C11C30C63=120P(X=4)=C32C11C20C63=320P(X=5)=C42C11C10C63=310P(X=6)=C52C11C63=12分布列：十一、已知含有未知数的分布列，求未知数例1：已知分布列如下，求k的值。120+320+310+k=1解得k=12概率论第三课十二、已知X分布列，求Y分布列例1：已知X的分布列，求Y=X2+1的分布列。X−202P0.40.30.3实用文档文案大全①根据X的所有取值，计算Y的所有取值Y=(−2)2+1=5Y=02+1=1Y=22+1=5②将表格里X那一列对应换成YY515P0.40.30.3化简一下：Y15P0.30.7例2：已知X的分布列，求Y=2X−1的分布列。X3456P12032031012①根据X的所有取值，计算Y的所有取值Y=2×3−1=5Y=2×4−1=7Y=2×5−1=9Y=2×6−1=11②将表格里X那一列对应换成YX57911P12032031012也可以表示成：Y~(5791112032031012)十三、已知𝐅𝐗(𝐱)，求𝐅𝐘(𝐲)例1：设X的分布函数为FX(x)={0，x≤0x2，0𝑥11，x≥1，求Y=2X的分布函数。①写出X=?YY=2X⇒X=Y2②用?y替换FX(x)中的x，结果为FX(?y)实用文档文案大全FX(y2)={0，y2≤0(y2)2，0y211，y2≥1③判断?y中是否有负号若无，则FY(y)=FX(?y)若有，则FY(y)=1−FX(?y)FY(y)=FX(y2)={0，y≤0y24，0𝑦21，y≥2例2：设X的分布函数为FX(x)={0，x≤0x2，0𝑥11，x≥1，求Y=−X的分布函数。①写出X=?YY=−X⇒X=−Y②用?y替换FX(x)中的x，结果为FX(?y)FX(−y)={0，−y≤0(−y)2，0−𝑦11，−y≥1③判断?y中是否有负号若无，则FY(y)=FX(?y)若有，则FY(y)=1−FX(?y)FY(y)=1−FX(−y)={1，y≥01−y2，−1𝑦00，y≤−1十四、已知𝐟𝐗(𝐱)，求𝐟𝐘(𝐲)例1：设X的密度函数为fX(x)={1，0𝑥10，其他，求Y=2X的密度函数。①写出X=?YY=2X⇒X=Y2②用?y替换fX(x)中的x，结果为fX(?y)fX(y2)={1，0𝑦20，其他实用文档文案大全③令fY=(?y)′·fX(?y)fY=(y2)′·fX(y2)=12·fX(y2)={12，0𝑦20，其他④判断?y中是否有负号若无，则fY(y)=fY若有，则fY(y)=−fYfY(y)=fY={12，0𝑦20，其他概率论第四课十五、符合均匀分布，求概率公式：P=满足要求长度总长度例1：设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率。总长度：3大于3的长度：2PX的取值大于3=23例2：设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值小于3的概率。总长度：3小于3的长度：1PX的取值小于3=13十六、符合泊松分布，求概率公式：P(X=x)=λxx!e−λ例1：某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为5的泊松分布。求在一分钟内呼叫次数不超过6次的概率。X表示一分钟内接到呼叫的次数P(X≤6)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=500!e−5+511!e−5+522!e−5+533!e−5+544!e−5+555!e−5+566!e−5=0.7622实用文档文案大全十七、符合二项分布，求概率公式：P(X=x)=CnxPx(1−P)n−x例1：重复投5次硬币，求正面朝上次数为3次的概率。x=3n=5P(正面朝上)=12P(X=3)=C53(12)3(1−12)5−3=516例2：在二红一绿三个球中有放回地摸3次，求摸到红球次数为2次的概率。x=2n=3P(摸到红球)=23P(X=2)=C32(23)2(1−23)3−2=49十八、符合指数分布，求概率公式：f(x)={λe−λx，x00，x≤0{P(a1𝑋a2)=∫f(x)dxa2a1P(X𝑎)=∫f(x)dxa−∞P(X𝑎)=∫f(x)dx+∞a例1：某种电子元件的使用寿命X(单位:小时)服从λ=12000的指数分布。求：(1)一个元件能正常使用1000小时以上的概率；(2)一个元件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率。X的密度函数为f(x)={12000e−x2000，x00，x≤0(1)P(X100