必修五单元综合测试三(第三章综合测试)

单元综合测试三(第三章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)则M与N的大小关系为()A．MNB．M≥NC．MND．M≤N【答案】A【解析】M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋340，所以MN.2．若abc，则一定成立的不等式是()A．a|c|b|c|B．abacC．a－|c|b－|c|D.1a1b1c【答案】C【解析】选项A，当c＝0时不成立，选项B，当a≤0时不成立；选项D，当a，b，c异号时不满足，故选C.3．不等式x3－x2－x＋10的解集是()A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)【答案】C【解析】原不等式可写成(x－1)2(x＋1)0.解之，得x－1且x≠1.4．已知正数x，y满足4x＋9y＝1，则xy有()A．最小值12B．最大值12C．最小值144D．最大值144【答案】C【解析】1＝4x＋9y≥236xy＝12xy.∵x0，y0，∴xy≥12.∵xy≥144，当且仅当4x＝9y＝12，即x＝8，y＝18时“＝”成立．∴xy的最小值为144.5．(2013·新课标Ⅱ文)设x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，x≤3，则z＝2x－3y的最小值是()A．－7B．－6C．－5D．－3【答案】B【解析】由z＝2x－3y得y＝23x－z3，－z3表示直线在y轴上的截距，截距越大，z越小，画出可行域(如图)，平移直线l：2x－3y＝0到l0过点C时，有zmin＝－6，选B.6．已知x2＋(m－3)x＋m＝0有一根大于1，而另一根小于1，那么实数m的取值范围为()A．(1,9)B．(－∞，1)∪(9，＋∞)C．(－∞，1)D．[1，＋∞)【答案】C【解析】∵函数y＝x2＋(m－3)x＋m的抛物线开口向上，由数形结合知若一根大于1，另一根小于1，只需f(1)＝2(m－1)0即m1.7．已知x0，y0.若2yx＋8xym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2m4D．－4m2【答案】D【解析】∵x0，y0，∴2yx＋8xy≥8(当且仅当2yx＝8xy时取“＝”)．若2yx＋8xym2＋2m恒成立，则m2＋2m8，解之得－4m2.8．(2013·山东理)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－13D．－12【答案】C【解析】线性约束条件表示的平面区域如图所示，则M(3，－1)，从图中可知kOM＝－13.9．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%………某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于()A．2000～2100元B．2100～2400元C．2400～2700元D．2700～4000元【答案】C【解析】分别以全月工资、薪金所得为2100元，2400元，2700元，4000元计算应交纳此项税款额，它们分别为：5元，20元，45元，175元．∵2026.7845，所以此人当月工资、薪金所得在介于2400～2700元．10．若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－2,1)，则不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a0的解集为()A．{x|x－3，或x3}B．{x|－3x1}C．{x|－1x3}D．{x|x－3，或x1}【答案】D【解析】由已知得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝－2，x2＝1且a0，∴ba＝1，ca＝－2，∴不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a0可化为x2＋(1＋ba)x＋ca－10，即x2＋2x－30，解得x－3，或x1.故应选D.11．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【答案】B【解析】设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知x＋y≤7010x＋6y≤480x≥0y≥0x，y∈N.，甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.画出可行域(如图所示的阴影部分)，点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．12．设ab0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】∵ab0，∴a2＋1ab＋1aa－b＝a2－ab＋ab＋1ab＋1aa－b＝[a(a－b)＋1aa－b]＋(ab＋1ab)≥2＋2＝4.二、填空题(每小题4分，共16分)13．若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．【答案】a≥15【解析】xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤15，故a≥15.14．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为________，此时x＝______.【答案】10【解析】y＝x＋1x＋1＝x＋1＋1x＋1－1≥21－1＝1，当且仅当x＋1＝1x＋1，即x＝0时取等号．15．(2013·浙江理)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________.【答案】2【解析】可行域为z＝kx＋y得y＝z－kx，当z取最大值时，y取最大值，∴4＝12－4k，故k＝2.16．设f(x)＝2ex－1，x2，log3x2－1，x≥2，则不等式f(x)2的解集为________．【答案】(1,2)∪(10，＋∞)【解析】由x2，2ex－12，解得1x2；由x≥2，log3x2－12，解得x10，∴f(x)2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)．三、解答题(共74分，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明步骤.)17．(12分)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.【解析】(x6＋1)－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)(x2－1)(x2＋1)＝(x2－1)2(x2＋1)．故当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；当x≠±1时，x6＋1x4＋x2.18．(12分)已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．【解析】由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得x0，y0，3xy＝x＋y＋1.(1)∵x0，y0，∴3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1.∴3xy－2xy≥1.即3(xy)2－2xy－1≥0.∴(3xy＋1)(xy－1)≥0.∴xy≥1.∴xy≥1.当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x0，y0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·(x＋y2)2.∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.∴x＋y≥2.当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.19．(12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a20.【解析】原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)0，即(x＋a7)(x－a8)0.①当－a7a8，即a0时，－a7xa8；②当－a7＝a8，即a＝0时，原不等式解集为∅；③当－a7a8，即a0时，a8x－a7.综上知，当a0时，原不等式的解集为{x|－a7xa8}；当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a0时，原不等式的解集为{x|a8x－a7}．20．(12分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值不小于8，求a的取值范围．【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(x)2x⇔ax2＋(b－2)x＋c0.已知其解集为(1,3)，∴a0，－b－2a＝4⇒b＝2－4a，ca＝3⇒c＝3a，∴f(x)＝ax2＋(2－4a)x＋3a.(1)若f(x)＋6a＝0有两个相等实根，即ax2－(4a－2)x＋9a＝0，Δ＝4＋16a2－16a－36a2＝0，解得a＝－1或a＝15(舍去正值)，∴a＝－1，即f(x)＝－x2＋6x－3.(2)由以上可知f(x)＝a(x－2a－1a)2＋－a2＋4a－1a，∴f(x)max＝－a2＋4a－1a≥8，得a2－4a＋1≥－8a⇔a2＋4a＋1≥0.解得a≥－2＋3或a≤－2－3.又∵a0，∴a的取值范围是(－∞，－2－3]∪[－2＋3，0)．21．(13分)某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－180x＋10，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝x5.(注：利润与投资金额单位：万元)(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A、B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A、B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；(2)试问：怎样分配这100万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【解析】(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的100－x(万元)资金投入B产品，利润总和f(x)＝18－180x＋10＋100－x5＝38－x5－180x＋10(x∈[0,100])(2)∵f(x)＝40－(x＋105＋180x＋10)，x∈[0,100]，∴由基本不等式得：f(x)≤40－236＝28，取等号当且仅当x＋105＝180x＋10时，即x＝20.答：分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．22．(13分)某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊含有维生素A，C，D，E和最新发现的Z.甲种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是1mg,1mg,4mg,4mg,5mg；乙种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3mg,2mg,1mg,3mg,2mg.如果此人每天摄入维生素A至多19mg、维生素C至多13mg、维生素D至多24mg、维生素E至少12mg，那么他每天应服用这两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能得到最大量的维生素Z?【解析】设此人每天服用甲种胶囊x粒、乙种胶囊y粒，得到维生素Z的量为z，则有x＋3y≤19，x＋2y≤13，4x＋y≤24，4x＋3y≥12，x≥0，且x∈N，y≥0，且x∈N，目标函数为z＝5x＋2y.作出以上不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l：5x＋2y＝0，将直线l向右上方平移，当直线l经过可行域中的点M时，z＝5x＋2y取得最大值．解方程组x＋2y＝13，4x＋y＝24，得点M的坐标为(5,4)，此时zmax＝5×5＋2×4＝33(mg)．所以此人每天服用5粒甲种胶囊、4粒乙种胶囊即可满足维生素的需要量，且能得到最大量的维生素