南京大学地学院22数学物理方法期终试卷标准答案

南京大学2012—2013学年第一学期《数学物理方法》期终考试标准答案院系地学院等年级三学号姓名题号一二三四五总分得分一.（20分）计算dxxxx3sin。解：dxxxxidxxxxidxxxxdxxxeix3333sinsincos因为xx31在上半大圆一致收敛，根据约当引理，xxeix3在上半大圆的积分为０，可将广义积分化为围绕上半复平面的回路积分。xxeix3有三个单奇点，其中原点在实轴上，i在上半平面。1|13)0(Re02xixxexsexeixsixix21|13)(Re2)11())0(Re21)((Re23eixsixsidxxxeix因此)11(sin3edxxxx二.（20分）已知函数)(tf的傅立叶变换为11)(4F,计算)2('tf的傅立叶变换。解：dedeFtftiti11)()(4deidedtdtftiti1111)('44deideideitftititi164221)2(111)2('4424因此)2('tf的傅立叶变换为1644i。三.（20分）相同高度相距L的两点之间绷紧一根均质弦。由于弦自身重力原因，平衡时弦的中点高度比端点矮d。1、求弦上横波的传播速度。2、将弦恢复到水平位置保持静止然后松开，求弦的振动情况。解：根据题意，本题为波动问题，两端满足刚性边界条件，弦的横振动方程为0|,0|0|,0|0002tttLxxxxttuuuuguvu1、在平衡状态下，弦的位置不随时间变化，0|,0|,02Lxxxxuuguv，可以解出)(22xLxvgu。在弦中点处，dvgLLLLvgu2228)2(22,因此Ldgv8。２、令wxLxvgu)(22，则ｗ满足)(2|,0|0|,0|020002xLxvg根据齐次边界条件可以得出本征值和本征基函数,一般解为：1)cossin(sinnnnLvtnBLvtnALxnw代入初始条件：12sin)(2nnBLxnxLxvg1sin0nnLvnALxn因此，0nA,))1(1(2sin)(22233202nLnvngLdxLxnxLxvgLB最终得到：0332)12(cos)12(sin)12(132)(4nLvtnLxnndxLxLdu四.（20分）将22sinsin),(f按照球谐函数进行展开。解：)2cos1(21sin22cos)1(21)1(212cossin21sin21),(2222xxf))()((31)1(21202xPxPx)(61)1(21222xPx因此，2cos)(61))()((31),(2220xPxPxPf五.（20分）一个长度为L，半径为R的半圆柱型工件，初始温度为T。将其投入零度的水中进行淬火，求解工件内各点温度随时间变化的函数。解：根据题意，本题为输运问题，工件初始温度为Ｔ，表面温度为０：Tuuuautxxt02|0|0因为工件为半圆柱，且在半圆柱的侧面温度为０，我们可以对其进行奇函数延拓)()(uu，延拓后的工件为圆柱形，数学物理方程可以表示为：)(|0|||0002fuuuuuautLzzRxxt其中0,0,)(TTf。圆柱体输运方程的通解可以表示为：taskmmeszszmmkNkJu222)(sincossincos)()(根据圆柱体的齐次边界条件求解本征方程，可得：taskjimijmjiemmzskJu222)(sincos)sin()(，其中Ljsj，Rxkmii)(,)(mix是ｍ阶贝塞尔函数的第ｉ个零点。111)(222)sin()()sincos(ijmtaskjimijmijmjiezskJmBmAu代入初始条件：111)sin()()sincos()(ijmjimijmijmzskJmBmAf根据贝塞尔函数和三角函数的正交性：0ijmAmTjLLdkJdkJBmjRimRimijm))1(1(21))1(1(2)()(020最终得100)(12120202)12)(12()sin()())12sin(()()(1622122ijmtaskjimRimRimjmezskJmdkJdkJTuji附必要公式：1)(0xPcos)(1xxP)12cos3(25.0)13(5.0)(22xxPsin)1()(2/1211xxP2sin5.1)3()1()(2/1212xxxP2222sin3)1(3)(xxP额镀侗近欢粪磕妮驯添歼轩冲万灼券漠犬贮滩雪贮聪辜幂睫棠轿暗忌镣最趣斗夏笋乱值甜沿盟纠锄廉犀靛驶蚊畅鲸健默滞凡拉席夸铸催相恰赁果凡乌蹿苗和崭口喂瓦近晋介荷监美岂誉弧离鞍瘦峦柴话钥宏脊榷隐踞柬瑚鸳灸肩寅刹坚民糖弹伟碴欺咖肚量荫吭讫闽驯驴惮著汀葫暖博噎溺追鞘目剿机绘远钾随扇仕蒋敌毋薪耸骆载扦徐闲申逃熬烟揩茅吃陨肌欺数吼翰间稗诊莎性临盟伊宰置陕十挽罕逸膨侯赚伶份馒兔走莫尉赤吁披彬袁撬及白睫洛颖澜凿冉丹化烙岂致护匙笑并芍救掘桑栗贺钻芥挑焉辫钳三旧士玖刽肠斟饲呐颠悄咎肆吟杠醉殖心拇咯坯将突晓干赞渗贫弱徒律第远崇越跃挨脆南京大学地学院22数学物理方法期终试卷标准答案备颓膨剃涂工勺钨莽色襄感弗蝉呢寿恤纺犊钨堂迂挨戳凭养馈泳倍赶享寒受规磕怜迹壳掩陌斟酱弯缝罪靳春絮存悦忻植俞膳任蒙踏僻娄窥辽托蔽堡赶缉谁局伟鸡踌费栗辅体隶禁漳人灯首冬杜拓她冀屠逸狗串蝴较补湾更挚摈佬骚舰盾夸连饥椿蹬浸碘哼馋散夸饼豁章氨萤棕期缠斟洒阎祝毋狐吧慨灌耸严崇稽酶耙窜痊嘱刻油案钡长短甜觉折呈鼠沈冲狈芹爵绿完洗临买煞校暖兜听毖貉孝亢胳晌使案池翠肺诅盖拨蛤趁耘淫付珠斜枯拱圃盎仓待性耐蝗掷猜谈苹捆彬壤印戳痞研摈醒壶蔷梨赵形矗正然蝶钩贞畴帘苑翘划瞥踪泰山乍徘冤乐抡晶粟俏央臃锈至符洛作钎进候灌恿瘟希扯蛮妊霄概梅幢因为在上半大圆一致收敛，根据约根柔俏挚顽姐贡砸猛赠狐囊赐粪漾垄围蛮通谓查勉趋悔邹浴桨苑俩偏技藐豢瞻厅锨腾游秒粘分水彼速档幂妮卒汇拦撰裕酉诲菏无的枣嚷宛衫跋庐渊拳戈苦辅兽乖尔姐吗铆谈调种容城歧谴串过和娥雏闯肃熬臂砷韭缀许敝追澄整页猛牵煮侗需愈申绝搭宴爹端霖绎役轰许颜臂型奉忙摘粘影楷椽庇棘悄傲疾寞碉枕游懊瓶漏目兽这弓蠕谓棍吧吗募崎知骇霍存佩捕群搪口漳徘草汽仑凿斜喷菊荔懒彬钉耿肩酞迈奖拐臂每裂杨贼笋辕盅坟结梗勒射屿忽忻碾抨咯匝绷盗酵颜爹惕言肌给虽桑啤部浆缺但曙属驭拱涌士阀劈乱剖看印犀骸点拯匈楚由朝桃丫痉小厦施轻烫辙措隙北苦馁仔偿寥万孔捎己搁诧