3.4基本不等式课件(人教A版必修5)

3.4基本不等式：2abab第1课时基本不等式思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ADCBHFGEab22ba22ba1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿ab2３、S与S’有什么样的不等关系？探究１：SS′即问：那么它们有相等的情况吗？22baab2(a≠b)ADBCEFGHba22ab猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab22baab222baab2(a≠b)(a＝b)＝思考：你能给出不等式的证明吗？222abab≥重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立222,,abababR222abab变形式：，a,bR0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？224,xyxy做一做：已知则的最大值是20,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab≥2abab≥替换后得到：即：)0,0(ba2abab≥即：2abab≥证明：要证只要证_______ab≥①要证①，只要证_____0ab≥②要证②，只要证2(______)0≥③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法22(0,0,(),())abaabb2abab≥)0,0(ba证明不等式：2ab2abba特别地，若a0，b0，则_____2abab≥通常我们把上式写作：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2ab文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.ab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.2abab≥几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab,2100,2()402xyxyxyxy例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.积定和最小16,0,0,ababab做一做：已知则的最小值为818922xyxy例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2得xy≤81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；和定积最大31,4(32)21,(13)3yxxxxx做一做：（）设0x求函数的最大值；（2）0x则取最大值时的值是应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”111[(+()]2()211-2xxxxxxxxx解：）-）（-当且仅当即时有最大值311(3)+33312(3)353解：xyxxxxxx13,435.当且仅当即时，函数有最大值，最大值为xxx配凑系数分析:x+(1-2x)不是常数.2=1为解:∵0x,∴1-2x0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤∙[]22x+(1-2x)21218=.当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即x=14∴当x=时,函数y=x(1-2x)的最大值是.14181.02例2若,求函数y=x(1-2x)的最大值.x1.两个重要的不等式（1）（2）基本不等式22a,bR,ab2ab(ab)那么当且仅当时取“”号；abab(a0,b0)(ab).2当且仅当时取“”号2.不等式的简单应用：主要是求最值，把握“六字方针”即“一正，二定，三等”.课堂小结第2课时基本不等式的应用分析：水池呈长方体形，高为3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即当x=y,即x=y=40时,等号成立所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.4800z150120(23x23y)3240000720(xy)240000720(xy)2400007202xyz24000072021600z297600如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x，BC=24－2x，矩形花园的面积为x(24－2x)m2因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2当x=6时，函数y取得最小值为7211xy1.已知x0,y0,且2x+y=1,求的最小值.整体代换型21xy11xy1=2,xy11f(x)xy分析：本题给定约束条件，来求注意到故可以采用对目标函数乘“1”构造使用基本不等式的条件.的最小值,正确解答:当且仅当2,yxxy即2yx时取“=”号.而1222,,21.222xyxxyy即此时min11()322.xy2.（2012·浙江高考）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()ＣA.B.C.5D.6245285【解析】由x+3y=5xy可得13131,34(34)()5555xyxyyxyx9431213125,555555xyyx∴3x+4y的最小值是5.xy取得最小值16.9xy102.16.yx9xyyx191xy，当且仅当时等号成立,x4,y12即时,a＞4.（2009山东理12T)设满足约束条件若目标函数yx,,0y,0x,02yx,06yx3byaxz（0，0）的最大值为12，则的最小值为（）bba32A.B.C.D.462538311略解：xy02-2202yx063yxbyaxz(4,6)点选把（4，6）代入z=ax+by得4a+6b=12,23232a+3b即2a+3b=6,而+=+abab613ba1325=+(+)+2=,故A6ab66A（1）基本不等式的实际应用；（2）整体代换思想；转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合思想。1.已知x0,y0,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．4已知x0,y0,且x+2y=1,求的最小值．yxu112已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．练习题：当x=6,y=4时,最小值为48最小值为8222()fxxx3.已知x0，求函数的最大值.322题型一分式形函数的最值求法典例剖析【例1】求函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x－1)的最小值．解：∵x－1，∴x＋10.∴y＝x2＋7x＋10x＋1＝x＋12＋5x＋1＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1＋5≥2x＋14x＋1＋5＝9.当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，等号成立．∴当x＝1时，函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x－1)取得最小值为9.方法点评：形如f(x)＝ax2＋bx＋cmx＋n(m≠0，a≠0)或者g(x)＝mx＋nax2＋bx＋c(m≠0，a≠0)的函数，可以把mx＋n看成一个整体，设mx＋n＝t，那么f(x)与g(x)都可以转化为关于t的函数．1．求函数y＝x＋22x＋5的最大值．解：设t＝x＋2≥0，从而x＝t2－2.∴y＝t2t2＋1(t≥0)．当t＝0时，y＝0.当t0时，y＝12t＋1t≤122t·1t＝24.当且仅当2t＝1t，即t＝22，x＝－32时，y有最大值ymax＝24.