高等代数2学期06-07B[1]

北京交通大学2006-2007学年第二学期高等代数（II）期末考试（B卷）专业信科班级学号姓名.请考生注意:本试卷共有六道大题,如有不对之处,请马上与监考教师调换试卷!题号一二三四五六总分得分阅卷人一、填空题(每题3分,共30分)1、设W1和W2是Rnn的两个子空间，其中W1是由全体n阶实反对称矩阵构成，W2是由全体n阶实下三角矩阵构成,则(W1+W2)的维数等于．2.设1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1),1=(0,0,2),2=(0,3,0),3=(4,0,0)是线性空间P3的两组基,则从基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵是3、线性空间22R中，矩阵5432A在基00011E，00112E，01113E，11114E下的坐标为．.4、设P3的线性变换T为：T(x1,x2,x3)=(x1,x2,x1+x2)，取P3的一组基：1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)，则T在该基下的矩阵是．.5、设欧氏空间R3[x]的内积为dxxgxfxgxf)()())(),((11则一组基1,x,x2的度量矩阵为．6、已知三阶矩阵A满足03EA2EAEA，则A．7、单位矩阵E的最小多项式为．8、欧氏空间V中两个向量,满足，则与的夹角是．9、3维欧氏空间R3(取标准内积)中的向量(2,3,－1),(1,1,0),(0,1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是．10、设321,,是数域P上的3维线性空间V的一组基，f是V上的一个线性函数。若,0)2()(3131ff1)(21f，则)(332211xxxf=．二、（15分）设线性空间P33中的两组基如下：(I)：E11=0001,E12=0010,E21=0100,E22=1000，(II)：A1=0001,A2=0011,A3=0111,A4=1111．(1)求由基(I)到(II)的过渡矩阵；(2)求矩阵A=5432在基(II)下的坐标．三、定义P3的变换A为A(x1,x2,x3)=(2x1－x2，x2+x3，x1)(1)证明A是一个线性变换；(2)求A在自然基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵。四、（15分）已知111111111A求可逆矩阵T,使T-1AT成对角形.五、（15分）设321,,是欧氏空间V的一组基，已知321,,的度量矩阵为，211132122令),(3221LW（1）求W的一组标准正交基；（2）求W，并求W的维数和一组标准正交基。六、证明题（三题任选做两题）（每小题5分，共10分）1.设V是n维欧氏空间，21,VV是其子空间且21dimdimVV。证明2V中有非零向量与1V正交。2．设n阶方阵A满足EA2，证明A相似于对角阵.3.设A是数域P上一个n阶方阵，A=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211定义A的迹为Tr(A)=a11+a22+…+ann证明Tr是线性空间Pnn上的线性函数．