一次函数及反比例函数

一次函数及反比例函数一、复习指南1．常量和变量在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量．在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数．2．函数：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某一范围的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．3．自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数．(2)分式：分母不为零．(3)偶次方根：被开方数为非负数．(4)零指数与负整数指数幂：底数不为零．4．函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做x＝a时的函数值．5．函数的表示法(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．6．函数的图象把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象．由函数解析式画函数图象的步骤：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；(2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；(3)描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；(4)连线：用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来．7．一次函数(1)一次函数：如果y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数．(2)一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b的图象是一条经过(0，b)点和)0,(kb点的直线．特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线．需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等价于“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象”，因为还有直线y＝m(此时k＝0)和直线x＝n(此时k不存在)，它们不是一次函数图象．(3)一次函数的性质当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标为(0，b)，与x轴的交点坐标为)0,(kb．(4)用函数观点看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，当y＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标．②二元一次方程组2211bxkybxky对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围．8．反比例函数(1)反比例函数：如果xky(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的反比例函数．(2)反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线．(3)反比例函数的性质①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小．②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大．③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称．(4)k的两种求法①若点(x0，y0)在双曲线xky上，则k＝x0y0．②k的几何意义：若双曲线xky上任一点A(x，y)，AB⊥x轴于B，则S△AOB||||2121yxABOB.||21k(5)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数y＝k1x(k1≠0)，反比例函数)0(22kxky，则当k1k2＜0时，两函数图象无交点；当k1k2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(21122112kkkkkkkk由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．(6)对于双曲线上的点A、B，有两种三角形的面积(S△AOB)要会求(会表示)，二、例题分析例1下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是()．例2下列函数中，自变量x的取值范围是x＞2的函数是()．A．2xyB．12xyC．21xyD．121xy例3已知函数y＝(2m－1)232mx，m为何值时，(1)y是x的正比例函数，且y随x的增大而增大?(2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?(3)函数的图象是开口向上的抛物线?例4从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y＝kx＋b的系数k，b，则一次函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限的概率是______．例5如图7－2，在反比例函数)0(2xxy的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝______．图7－2例6在同一坐标系中，一次函数y＝(1－k)x＋2k＋1与反比例函数xky的图象没有交点，则常数k的取值范围是____．例7如图7－3，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y＝－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为()A．(0，0)B．)21,21(C．)22,22(D．)21,21(例8已知点)0,3(),0,0(),1,3(CBA，AE平分∠BAC，交BC于点E，则直线AE对应的函数解析式是()．A．332xyB．y＝x－2C．13xyD．23xy例9直线y＝x－1与坐标轴交于A，B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有()．A．4个B．5个C．7个D．8个例10(1)直线y＝2x＋1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是______；(2)直线y＝2x＋1关于x轴对称的直线的解析式是______；直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线的解析式是______；直线y＝2x＋1关于原点对称的直线的解析式是______．(3)如图7－7，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x＋1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是____．例11已知一次函数y=x+m与反比例函数y=1mx的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）．（1）求x0的值；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．例12如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．例13已知y+a与x+b成正比例，且当x=1，-2时，y的值分别为7，4．求y与x的函数关系式．例14图中的直线的交点可看作是方程组的解，请用你所学的知识求出这个方程组．例15某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030…y（件）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式．（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？例16已知：如图，函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一直线L经过点C（1，0）将△AOB的面积分成相等的两部分．（1）求直线L的函数解析式；（2）若直线L将△AOB的面积分成1：3两部分，求直线L的函数解析式．三、练习(一)选择题1．函数y＝(m－1)22mx图象是双曲线，在每一象限内，y随x的增大而增大，则m的值为()．A．1B．－1C．±1D．32．已知点(2，－6)在函数y＝kx图象上，则函数yxk图象在()．A．一、三象限B．二、四象限C．一、四象限D．二、三象限3．已知反比例函数xy6图象经过(x1，y1)，(x2，y2)两点，且y1＜y2＜0，则x1，x2的大小关系为()．A．x1＞x2＞0B．x1＜x2＜0C．x2＞x1＞0D．x2＜x1＜04．如图7－13所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝20°．动点P，Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝100°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为()．ABCD5．函数y＝kx－1与xky(k≠0)在同一坐标系中的图象可能是()．ABCD(二)填空题7．若函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则不等式3x＋b＞ax－3的解集是______．8．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0)，点B的坐标是)3,0(，点C在坐标平面内，若以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C有______个．