直线的倾斜角与斜率教案

13.1.1直线的倾斜角与斜率昆明市第一中学赵燕艳教学课题3.1.1直线的倾斜角与斜率教学目标与过程1、知识与技能（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）体验用代数方法刻画直线斜率的过程；（3）掌握过两点的直线的斜率公式及应用；(4)通过小结把具体知识（斜率公式）的掌握深化成一种数学思想（数形结合）。2、过程与方法通过讲述小故事，培养学生对所学新知识的亲切感，激发学习热情，拉近知识与生活的距离。3、情感态度与价值观在教学中首先让学生从源头上了解知识的脉络，然后充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数形美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。教学重点1、初步培养学生的数形结合的思想；2、直线的倾斜角和斜率的概念；3、过两点的直线的斜率公式；教学难点过两点的直线的斜率公式的导出课时安排1课时教学用具板书教学方法情景教学法、讲授法、直观教学法2教学设计思路讲述笛卡尔开创解析几何的传奇故事，把知识植根于生活，使学生对即将学习的解析几何知识有亲切感，同时也用笛卡尔在艰难波折生活中，坚持不懈、积极探索的精神鼓舞学生。用在黑板上固定一根棍子的简单生活实例，引出坐标系内确定直线位置的几何要素。在探究确定直线位置的过程中，给出倾斜角的定义，并由定义归纳出倾斜角的范围。由生活中坡度的实例，引出斜率的数学概念。再由斜率的定义推导出用直线上的两点表示出斜率的公式。最后，通过对斜率公式的深入观察和分析，深化数形结合的思想。具体教学过程一、新课导入同学们好，今天我们开始学习数学的一个重要分支——解析几何。同学们知道，在几何问题的研究中，我们主要依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质。现在，我们要采用另外一种方法——坐标法，就是以坐标为桥梁，把几何问题转化为代数问题。通过代数运算研究几何图形。我举个通俗的例子，同学们如果我问你，你们家住哪儿，你可以带领我去，嗯，这是最原始的办法；你可以画张图告诉我,那类似几何方法，当然，一般你们是告诉我住址，其实住址就是一个位置坐标。这就是几何问题代数化最简单的生活实例。为了使同学们更好的理解解析几何这门课，我们一起来分享解析几何的开山鼻祖——笛卡尔创立解析几何的小故事。笛卡尔一生生活颠沛，命运波折。但他一生酷爱研究，涉猎甚广。诸如物理学、天文学、机械学、医学都有深入的研究，数学研究对世界文明的贡献最大。20岁时，他已大学毕业，做了一名战士。就是在军旅生涯中，一次偶然机会，他解决了数学教授别克曼的一道难题，成了别克曼的朋友，从此与数学结下了不解之缘。他进入数学王国不久就意识到传统几何也就是我们所说的欧氏几何过分依赖图形和形式演绎的缺陷，同时代数过分受法则和公式的限制而缺乏活力。不过，想归想，这时的他，毕竟不是一名职业科学家，只是一名法军中的小战士。过了三年，也就是1619年，曾经的法国小战士，23的笛卡尔又出现在了美丽的多瑙河畔的一座德国的军营里。此时，他正躺在病床上，不知是生病了，还是受伤了。总之，他此时此刻不用打战了，可以安心的思考他的问题。笛卡尔本身就不是一个想当将军的好士兵，想的肯定不是打战的事，他在想什么呢？他仰望着病房的天花板，一只机灵的小蜘蛛从墙角慢慢地爬了过来，口丝结网忙个不停，从东爬到西，从南爬到北，正在结网。小小的蜘蛛结一张网，该走多少路啊！仁慈而伟大的笛卡尔突发奇想，想算一算蜘蛛走过的路程。他首先把蜘蛛看成一个点，这个点离墙角多远？离墙的两边有多远？他思考着，计算着，病中的他睡着了……梦中他继续在数学的广阔天地中驰骋，好像悟出了什么，又看到了什么，大梦醒来的笛卡尔茅塞顿开，一种新的思想初露端倪：在互相垂直的两条直线下，一个点可以用到这两条直线的距离，也就是两个数来表示，这个点的位置就被确定了。用数形结合的方式将代数与几何的桥梁联系起来了。这就是解析几何学诞3生的曙光，沿着这条思路前进，在众多数学家的努力下数学的历史发生了重要的转折，建立了解析几何学。这个故事听起来，传奇、浪漫。有点像牛顿的苹果，阿基米德的浴盆，有点后人附会杜撰的意味，但他给了我们的启示是深远的。执着、热情是取得成就的重要性格因素。只有热情地对待自己的事业，执着地思考，我们才能把来自外部世界的些许感受深华为事业突破的灵感。这个故事让我们明白了要确定一个点的位置和研究它的运动，最好的办法是建立一个坐标系，用坐标来确定点的位置，用点的坐标的变化来刻画点运动的规律。科学研究需要奔放的激情，更需要严谨的态度和知识的点滴积累。好了，书归正传，我们以严谨求实的态度做笛卡尔的跨世纪粉丝开始解析几何的学习。二、探究新知（以一根棍子作为直线的模型进行比划），如果要将这根棍子固定在黑板上至少要几颗钉子？再设想如果一颗钉子，位置固定吗？我们把刚刚的问题转化为数学问题，在直角坐标系中，两点可以确定一条直线；过平面内一点，可以做无数条直线。我们看，显然这些直线的区别在于直线的倾斜程度不一样。为了表示直线的倾斜程度，我们引入倾斜角这个几何概念。（板书倾斜角的概念）倾斜角：当直线与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角（指着图讲解）根据倾斜角的定义，直线1l的倾斜角为1，直线2l的倾斜角为2，直线3l的倾斜角为3，它们分别是锐角、直角、钝角，我们再看一种特殊情形（做出直线4l），既然是特殊情况，特事特办，规定：当直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0（板书）。（指着图讲解，进行归纳）由此，我们得出直线的倾斜角的取值范围为：0180现在同学们明白了，倾斜角就是表示直线倾斜程度的一个几何元素。4同学们思考一个问题：只给定直线的倾斜角，我们得到无数条相互平行的直线,（用教具演示）若给定直线上一点和直线的倾斜角，那直线是唯一确定的。由此，我们得出，直线上一定点和直线的倾斜角可以确定平面直角坐标系中一条直线的位置。说到倾斜角我们自然联想到实际生活中的坡度问题。比如，我们国家公路建设中有一个建筑规范：城市二级公路坡度5%，，意思是水平方向前进100米，竖直上升值不能超过5米。因此,同学们看，有的地方立交桥的立交处比较高，那引桥修得比较长,目的在于减少坡度。(举例，讲解立交桥的例子)桥面距地面的高度AB=15米，引桥C点的选址应距B点多远？5%ABBC得155%BCBC300同学们明白，坡度比是工程技术上的叫法。在数学上,ABBC叫做什么？（等同学们回答）叫做倾斜角的正切值，我们把它叫做直线AC的斜率。（板书）斜率：直线的倾斜角的正切值tan90k，特别地，当90时，直线的斜率不存在。我们知道在倾斜角的取值范围内(0180)，倾斜角的大小与倾斜角的正切值是一一对应的，换句话说，倾斜角的大小与斜率是一一对应的。进一步得到：（板书）直线上一点和直线的斜率同样能确定一条直线。现在进入本节课的核心内容（板书及作图）：由直线上两点的坐标计算直线的斜率5（板书并讲解例题）（1）tantank在12RtPPQ中，221121tanQPyyPQxx2121yykxx（2）当12,PP的位置变化时，2121yykxx成立，举一隅而反三隅，这点请同学们课后自己验证。由此我们得到斜率公式：2121yykxx我们看一个特例，（3）当0时，tan00k，这一点我们也可以由斜率公式得到。当0时，直线和x轴平行或重合，此时21yy。21212100yykxxxx接下来，我们看一下斜率公式的具体应用。（板书并讲解例题）例1、如图，已知3,2,4,1,0,1ABC，求直线,,ABBCCA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。把点的坐标代入斜率公式即可求得相应直线的斜率，比较简单，不用多讲解。（问）,ABAB由k0得到直线的倾斜角为锐角，由0BCk，得到直线BC的倾斜角(2)180tan180tanK在12RtPPQ中，221112tanQPyyQPxx21211221tanyyyykxxxx6为钝角的结论同学们清楚吗？由正切函数的图象：可以看出，当斜率大于0时，即倾斜角的正切值大于0时，倾斜角0,90，当斜率小于0时，即倾斜角的正切值小于0时，倾斜角90,180（板书并讲解）例2、画过点A（-1,2），斜率为-3的直线。分析：两点确定一条直线，还有一点如何找?不妨设11,yxB是直线上一点，我们运用斜率公式得到一个关于11,yx的二元一次方程，给定1x的值解出1y的值，由此得到点B的坐标。解：设11,yxB是直线上一点，根据斜率公式有11132yx即1135yx令112,1xy则点B的坐标为2,1直线上两点确定了，我们就可以画出这条直线。四、课堂练习课本95p练习2五、小结我们认识了确定一条直线位置的两个几何要素，倾斜角和斜率。并掌握用直线上两点刻画斜率的表达式，即2121yykxx我们再看一下，这个斜率的表达式的特点，左边k刻画的是直线的神态，即7直线的倾斜程度，右边包含了两个点的坐标信息，即两对有序实数对。可谓数中有形，形中有数，数形结合是研究解析几何的重要思想，也是我们这节课的灵魂。著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”更精辟地指出“数无形，少直观；形无数，难入微。”可见数形结合的思想非常重要，是解决数学问题的非常强大的思想武器，换句非常时髦的话说，数形结合非——常——给力！五、板书3.1.1直线的倾斜角与斜率倾斜角：当直线与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线向上方向所成的角倾斜角的范围：0180斜率：直线的倾斜角的正切值tan90k，特别地，当90时，直线的斜率不存在。一、85%ABBC得155%BCBC300二、由直线上两点的坐标计算直线的斜率（1）tantank在12RtPPQ中，221121tanQPyyPQxx2121yykxx（3）当12,PP的位置变化时，2121yykxx仍成立（2）180tan180tanK在12RtPPQ中，221112tanQPyyQPxx21211221tanyyyykxxxx9由此我们得到斜率公式：2121yykxx（4）当0时，tan00k，当0时，直线与x轴平行或重合，此时21yy21212100yykxxxx三、例1、例2、画过点A（-1,2），斜率为-3的直线。解：设11,yxB是直线上一点，根据斜率公式有11132yx即1135yx令112,1xy则点B的坐标为2,1