简单的超越不等式

第49课简单的超越不等式●考试目标主词填空1.通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x).2.通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.a1时,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;0a1时,logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).3.①形如:sinx≥a,sinx≤b及a≤sinx≤b的不等式,除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0≤x≤2π)及y2=a(或b)(0≤x≤2π)图，得出满足x∈［0,2π］的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.②形如:cosx≥a,cosx≤b及a≤cosx≤b的不等式，除了使用单位圆求解之外，在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx232x及y2=a(或y3=b),232x的图像，先得出满足条件x∈232x的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.③形如:tanx≥a,tanx≤b及a≤tanx≤b的不等式,有直接的结论可用:tanx≥a的解集是:Zkkak,2,arctan.tanx≤b的解集是:Zkakk,arctan,2.a≤tanx≤b的解集是:［kπ+arctana,kπ+arctanb］,k∈Z.●题型示例点津归纳【例1】解下列对数、指数不等式:(1)9x-3x-20;(2)(log23x)2+(log23x)-2≥0;(3)2x·log2x+2x-log2x-10.【解前点津】(1)视3x为新变量，可因式分解,(2)视log23x为新变量对象，同样可因式分解，(3)分组分解因式，讨论求解.【规范解答】(1)化原不等式为:(3x+1)·(3x-2)0,∵3x+10恒成立,故原不等式可化为:3x-20即3x2xlog32;(2)化原不等式为:(log23x-1)·(log23x+2)≥0log23x≥1或log23x≤-2log23x≥log22或log23x≤log2413x≥2或03x≤41.故原不等式的解集为:,32121,0.(3)分组得:(2x·log2x+2x)-(log2x+1)0(2x-1)·(log2x+1)001log01201log01222xxxx或2102100xxxx或故原不等式解集为21,0.【解后归纳】视3x及log23x为新变量，是整体代换的换元思想，通过“换元”，将超越不等式转化为一元二次不等式，通过因式分解，化简了超越不等式，回归到指数不等式，对数不等式的“原始模型”，最后得出原不等式的解.【例2】(1)sin2x21;(2)cosx≤-23;(3)tan2004x≥-1;(4)-21≤sin(3x-6)≤22.【解前点津】利用基本函数y=sint.y=cosx的图像求解.【规范解答】(1)令2x=t,则sint21,在同一坐标系中作函数y1=sint(0≤t≤2π)及y2=21(0≤t≤2π)的图像,容易算出两函数图像交点的横坐标分别是656与.故当t∈［0,2π］时,有:656t.从而当t∈R时有2kπ+kt2656,即:2kπ+kx26526,解之:kπ+12512kx,k∈Z.(2)在同一坐标系中作函数y1=cosx在23,2的图像,及函数y2=-23223x的图像.当cosx=-　且232,23x时,x=6765及.故当-21π≤x≤23π时,cosx≤-23的解为:65π≤x≤67π原不等式的解为2kπ+65π≤x≤2kπ+67π,k∈Z.(3)当tan2004x=-1且-21π2004x21π时,2004x=-41π.故由kπ-41π≤2004xkπ+21π得原不等式解为:4008200480162004kxk,k∈Z.(4)令t=3x-61π,在同一坐标系中,作如下三个函数的图像:y1=sint,y2=-21,y3=22,当t∈［0,2π］时,可算出交点A、B、C、D的横坐标依次为:43,4π,67π,611π.因夹在两平行直线间的曲线有如下几段:2,611,67,43,4,0故由0≤t≤2611674341tt或或得在R上x满足:2kπ≤3x-61π≤2kπ+41π,或2kπ+43π≤3x-61π≤2kπ+67π,或2kπ+611π≤3x-61π≤2kπ+2π.故原不等式解集为:181332,32329432,36113236532,1832kkkkkk(k∈Z).【解后归纳】利用图像法解三角不等式，关键是利用了函数的周期性，先在一个周期内确定不等式的解,然后得出原不等式的整个解集，这叫做“化难为易”.【例3】求下列函数的定义域:(1)y=xx2cos2sin1;(2)y=xxtan1tan1.【解前点津】先列出不等式，再化简不等式，最后求解不等式.【规范解答】(1)由1-sin2x-cos2x≥0sin2x+cos2x≤1142sin2xsin(2x+41π)≤22,令t=2x+41π,得sint≤22.当t∈［0,2π］时,由sint=22得,t=41π及43π.故当t∈［0,2π］时,由sint≤22得:0≤t≤41π或43π≤t≤2π2kπ≤2x+41π≤2kπ+41π或:2kπ+43π≤2x+41π≤2kπ+2π，解之:kπ-81π≤x≤kπ或kπ+41π≤x≤kπ+87π(k∈Z).(2)由04tan,04tan,0tan1tan1xxxx即得kπ-21πx-41π≤kπkπ-41πx≤kπ+41π,k∈Z.【解后归纳】对结构稍复杂一点的三角不等式，常利用有关公式先进行化简，使之与三角不等式的基本模型对号，最后利用图像法解三角不等式.对那些更复杂，甚至不能转化为基本不等式者，读者不必去深究!【例4】解关于x的不等式:log2(4-ax)-log4(ax-1)≤1(a0,a≠1).【解前点津】令t=ax,先转化为关于t的不等式，再将底数化为相同，从而去掉对数符号.【规范解答】令t=ax,则t0,原不等式为:log2(4-t)-log4(t-1)≤1,由对数性质得4-t0且t-10从而:1t4.又由log4(4-x)2-log4(t-1)≤1得:log4(t-4)2≤log44(t-1)t2-12t+20≤02≤t≤10,故［2,10］∩(1,4)=［2,4］即2≤t42≤ax4,故当a1时,原不等式解集为:［loga2,2loga2);当0a1时,原不等式解集为:(2loga2,loga2).【解后归纳】本题综合使用了换元法，同底法，其目的，就是将原不等式转化为指数不等式(或对数不等式)的基本模型，然后求解.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.不等式2lg11lg11xx的解集是()A.(101,1)∪(1,10)B.(101,1)∪(2,10)C.(101,10)D.(1,+∞)2.已知不等式2322221axaxx对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是()A.a43B.a43C.0a43D.43a13.不等式xx282331解集是()A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)5.若α∈(0,2),则不等式:logsin(1-x)2的解集是()A.(-1,sin2α)B.(cos2α,21)C.(-1,cos2α)D.(cos2α,1)6.设A={x|x25lg(x-1)},B={x|x25≤lg(x-1)},则A∪B等于()A.RB.(1,+∞)C.(1,25)D.(1,25)7.不等式logx321的解集为()A.(0,32)B.(32,+∞)C.(32,1)D.(0,32)∪(1,+∞)8.不等式04log14log15)1(xx的解集为()A.(3,+∞)B.(1,5)C.(1,4)∪(4,5)D.(3,4)∪(4,5)9.若不等式x2-logmx0在(0,21)范围内恒成立，则实数m的取值范围是()A.1,161B.161,0C.41,0D.,161二、思维激活10.不等式15x5x-3的解集是.11.当0a1时,不等式:ax2+x-88102lga的解集为.12.不等式sinx≤-21的解集为.13.不等式tan(x-4)≥3的解集为.三、能力提高14.解下列指数不等式:(1)1325391xx;(2)|2x-3|+4x-30.15.解对数不等式:logx5-2log5x3.16.解关于x的不等式:).1,0(14aaaaxx17.解不等式:21)32cos(x.第7课简单的超越不等式习题解答1.A,令y=lgx,先解出关于y的分式不等式.2.A:3x+a2-(x2-2ax)恒成立,从而知关于x的不等式x2+(3-2a)x+a20恒成立,由Δ=(3-2a)2-4a20解得a34.3.B8-x2-2xx2-2x-80,即(x-4)·(x+2)0故x∈(-2,4).4.C0x2+2x+210即得.5.Dsinα∈(0,1),∴01-xsin2α,∴1-sin2αx1.6.D5-2x≥0且x-10得1x≤25,设I=(1,25),∵A=B,B=A,∴A∪B=I.7.D.32013210321xxxxxx或或8.D4534251050142)5(log)1(log44xxxxxxxxxxxx且且.9.Af(x)=x2在(0,21)内单调增，欲使x2logmx,则0m1.∴g(x)=logmx在(0,21)内单调减，∴41logm2-1,∵41≤logm2-1,∴m41≥21,∴m≥161,∴161≤m1.10.由原不等式解:(5x-1≥0且5x-30)或(5x-3≥0且5x-1(5x-3)2)x∈［0,1］.11.∵102lga=a2,∴化原不等式为:x2+x-882,∴-10x9.12.由sinx=-21及x∈［0,2π］得:x=67π,611π.故由x∈［0,2π］及sinx≤-21得,67π≤x≤611π,从而知原不等式解集为[2kπ+67π,2kπ+611π],k∈Z.13.由x-41π∈(-21π,21π)及tan(x-41π)=3得:x-41π=31π,即x=127π.故原不等式的解集为[kπ+127π,kπ+43π],k∈Z.14.(1)13)25(1322533391xxxxx2-53x-1-1x4,故原不等式解集为(-1,4).(2)化原不等式为:034323log034233log22xxxxxx或06223log0)12(23log222xxxxxx或0xlog23或x≥log23,故原不等式解集为(0,+∞).15.由换底公式，得:03log4lo