0-导数与积分

一、典型问题1.自由落体运动的瞬时速率问题如图,,0时刻的瞬时速率求t0t,0tt的时刻取一邻近于t,t运动时间ttsv平均速率00ttss).(20ttg,0时当tt取极限得2lim0t)(tgv0tt瞬时速率.0gt导数的概念上述求瞬时速率的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程为s=s(t)，则物体在时刻t0的瞬时速率定义为tsvtvtt000limlim)(ttsttst)()(lim000速度反映了路程对时间变化的快慢程度Toxy)(xfyCNM如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设0xx的斜率为割线MN如图,00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx2.切线问题割线的极限位置——切线位置二、导数的定义定义,,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数,)(00xxxxdxxdfdxdy或即xxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx关于导数的说明：★导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质★.,0慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点x★平均变化率为端点的区间上的和在以是xxxyxy00导数的实质:增量比的极限;三、由定义求导数（三步法）步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即例.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即44cos)(sinxxxx.221.常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21axxaaaaxxln1)(logln)(xxeexx1)(ln)(四、常用导数公式2211)(arctan11)(arcsinxxxx2211)cot(11)(arccosxxxxarc2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)(（3）vuvuuv)(,（4）)0()(2vvvuvuvu.(是常数)C3.复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或导数为的则复合函数而设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.五、导数的几何意义与物理意义1.几何意义oxy)(xfy0xT)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxfM2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速率..lim)(0dtdststvt交流电路:电量对时间的导数为电流强度..lim)(0dtdqtqtit非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.六、高阶导数问题:变速直线运动的加速度.),(tfs设)()(tftv则瞬时速率为的变化率对时间是速度加速度tva.])([)()(tftvta定义.)())((,)()(lim))((,)()(0处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(33dxydyxf三阶导数的导数称为四阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数..)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地xfxf函数的微分前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念——微分。实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,00xxx变到设边长由0x0xxx,20xA正方形面积20xA2020)(xxxA.)(220xxx)1(xx0xx0:)1(;,的主要部分且为的线性函数Ax)2(2)(x:)2(.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx一、典型问题二、微分的定义定义.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx即或记作的微分相应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分ydy(微分的实质)由定义知:;)1(的线性函数是自变量的改变量xdy;)()2(高阶无穷小是比xxodyy;,0)3(是等价无穷小与时当ydyAdyyxAxo)(1).0(1x;)(,)4(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(,)5(线性主部很小时当dyyx三、微分的几何意义几何意义:(如图)xyo)(xfy0xMT）xx0PNxydy)(xo.,对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当dyy.,,MNMPMx可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当四、微分的求法dxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2.函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud函数的变化率问题导数的概念函数的增量问题微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.★导数与微分的联系:.可微可导五、导数与微分的区别.,,,))((),()(.10000它是无穷小实际上定义域是它的的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数Rxxxxfdyxfxxf))((limlim0000xxxfdyxxxx.0.))(,()()()(,))(,()()(,.200000000的纵坐标增量方程在点处的切线在点是曲线而微处切线的斜率点在是曲线从几何意义上来看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf例xxcossinxsin是xcos的原函数.如果在区间I内，定义：可导函数)(xF的即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf导函数为)(xf，或dxxf)(在区间I内原函数.一、原函数与不定积分的概念不定积分的概念和性质任意常数积分号被积函数不定积分的定义：在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(.为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分表基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdx简写为.lnCxxdxdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsinh)14(;coshCxxdxcosh)15(;sinhCx以上15个公式是求不定积分的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握。dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf此性质可推广到有限多个函数之和的情况三、不定积分的性质dxxfxfn)]()([1dxxfdxxfn)()(1dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，)0k曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.abxyo)(xfy?A用矩形面积近似取代曲边梯形面积实例1（求曲边梯形的面积）一、典型问题定积分的概念和性质abxyo（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．曲边梯形如图所示abxyo,],[1210bxxxxxabann个分点，内插入若干在区间;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间i，上任取一点在每个小区间iiixx],[1ix1x1ix1nx为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxxiiixfA)(曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(1时，趋近于零即小区间的最大长度当