相似三角形培优三

第1页（共8页）相似三角形的性质培优1．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB．连接DE．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝，求AE的长．2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且＝．（1）求证：△ADE～△ACB；（2）当AB＝12，AC＝9，AE＝8时，求BD的长．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB～△CFB；（2）求证：；（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．4如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，点E在AC上，BE交CD于G，EF⊥BE交AB于F，CE：BC：AE＝1：2：3．（1）求证：△BCE∽△ACB；（2）求证：BG＝EG；（3）求的值．第2页（共8页）5．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且DE⊥BC，AD＝AC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：∠ECB＝∠B；（2）求证：△ABC∽△FCD；（3）若△FCD的面积为7.5，BC＝10，求DE的长．6．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形FGHN的边FG在BC上，点N，H分别在边AB、AC上，（1）若NH：HG＝1：2，求此矩形的面积．（2）若FGHN是正方形，求边长。（3）当矩形长宽为多少时，矩形面积最大，最大值是多少。7．如图，在△ABC中，点PQ分别在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N．AD⊥BC于点D，交PQ于点E，且AD＝BC．（1）求AE：PQ的值；（2）请探究BM，CN．QN之间的等量关系，并说明理由；（3）连接MQ，若△ABC的面积等于8，求MQ的最小值．第3页（共8页）8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、B的交于点O、M为AD上点，且DM＝2MA，连接CM交BD于点N，且ON＝1．（1）求BD的长；（2）若△DMN的面积为4，求四边形ABNM的面积．9．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．10.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB＝12，DE＝1，BM＝5，求DN的长．11．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作DEFG．（1）求DEFG对角线DF的长；（2）求DEFG周长的最小值；（3）当DEFG为矩形时，连接BG，交EF，CD于点P，Q，求BP：QG的值．第4页（共8页）12．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，BC＝9，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．13．（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在斜边AB上，点E在直角边BC上，若∠CDE＝45°，求证：△ACD∽△BDE．（2）如图2所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝10cm，点E在BC上，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD（或CD的延长线）于点F．①若BE：EC＝1：9，求CF的长；②若点F恰好与点D重合，请在备用图上画出图形，并求BE的长．14．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t＝15时，△PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．第5页（共8页）15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC＝9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．16.如图,△ABC中,DE∥BC分别交AB,AC于D,E两点,过点E作EF∥AB交BC于点F.请按图示数据填空：四边形DBFE的面积S=___,△EFC的面积S1=___,△ADE的面积S2=___.探究发现(2)在(1)中,若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h.请证明S2=4S1S2.拓展迁移(3)如图,▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3,试利用(2)中的结论求△ABC的面积。第6页（共8页）17.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点P从点C出发,沿CB向点B匀速运动,速度为每秒1个单位,过点P作PM⊥BC,交对角线BD于点M.点Q从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为每秒1个单位.P、Q两点同时出发,设它们的运动时间为t秒(0t8).(1)当PQ⊥BD时，求出t的值；(2)连接AM,当PQ∥AM时，求出t的值；(3)试探究：当t为何值时，△PQM是等腰三角形?1．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC于点H，分别交AD及CB的延长线交于点E、F，且AE：FB＝1：2，则AH：HC的值为______.2．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知△AEF的面积＝1，则平行四边形ABCD的面积是______.3．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．则的值是______.4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，点M，N在DC边上，第7页（共8页）且MN＝DC，连接NE，MF．若AB＝12，则图中的阴影面积是______.5．如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是______.6．如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，EF∥BC，，且△DEF的面积为4，则△ABC的面积是______.7．如图，已知点M为平行四边形ABCD边AB的中点，线段CM交BD于点E，S△BEM＝2，则图中阴影部分的面积是______.8．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，则的值是______.9．如图，在正方形AOCB中，AB＝3，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点P在边AB上，且OP交AC于点Q，函数y＝（x＜0）的图象经过点Q．若S△APQ＝S△OCQ，则k的值是______.10．如图，已知直线l1：y＝x+与直线l2：y＝﹣2x+16相交于点C，直线l1，l2分别交x轴于A、B两点，矩形DEFG的顶点D、E分别在l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与B点重合，那么S矩形DEFG：S△ABC＝______.11．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点F到BC第8页（共8页）的距离为2﹣2．则其中正确结论的有______________.12．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE、BF交于点P，过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE＝BF；③AE⊥BF；④CF2＝PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有_____________.13．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE，连接AE，分别交BD，BC于点F，G．则下列结论：①△ADF∽△GCE；②△AFB∽△ABE；③CG＝3BG；④AF＝EF，其中正确的有_____________.14如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上一点，DE：EC＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F．若S△DEF＝2，则S△ABE＝______.15．将一幅三角尺（Rt△ACB中，∠ACB＝90，∠B＝60，在Rt△EDF中，∠EDF＝90，∠E＝45）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0＜α＜60°），DE'交AC于点M，DF’交BC于点N，则的值为______.16．如图，在△ABC中，BC＝a．作BC边的三等分点C1，使得CC1：BC1＝1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2＝1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为_______.17．如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且＝，连接MP1，MP2，MP3…MPn﹣1连接NB，NP1，NP2…MPn﹣1，线段MP1与NB相交于点O1，线段MP2与NP1相交于点O2，线段MP3与NP2相交于点O3，…，线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点On﹣1，则△NO1P1，△MO2B2，△MO3P3，…△MOn﹣1Pn﹣1的面积和是________.（用含有S与n的式子表示）