分数阶导数

分数阶导数1引言我们都熟悉的导数的定义。通常记作1()()dfxDfxdx或222()()dfxDfxdx或这些都是很容易理解的。我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如[()()]()()DfxfyDfxDfy但是像这样的记号1/21/21/2()D()dfxfxdx或者又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到过导数的阶数是1/2的。因为几乎没有任何教科书会提到它。然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz已经开始探讨。在之后的岁月里，包括L’Hospital,Euler,Lagrange,Laplace,Riemann,Fourier,Liouville等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。现在，关于“分数微积分”的文献已经大量存在。近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。Wheeler在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。首先我们从熟悉的n阶导数的例子开始，比如Dnaxnaxeae。然后用其他数字取代自然数字n。这种方式，感觉像是侦探一样，步步深入。我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。）随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧……2指数函数的分数阶导数我们将首先研究指数函数axe的导数。因为他们导数的形式，比较容易推广。我们熟悉axe的导数的表达式。12233,,axaxaxaxaxaxDeaeDeaeDeae，在一般情况下，当n为整数时，naxnaxDeae。那么我们能不能用1/2取代n，并记作1/21/2axaxDeae呢？我们何不尝试一下？为什么不更进一步，让n是一个无理数或者复数比如1+i？我们大胆地写作axaxDeae，（1）对任意一个，无论是整数，有理数，无理数，还是复数。当是负整数时，考虑（1）式的意义是很有趣的。我们自然希望有1(())axaxeDDe成立。因为1(())axaxeDea，所以我们有1()axaxDeedx。同理2()axaxDeedxdx。当是负整数时，我们将D看作是n次迭代的积分是合理。当是正实数，D代表导数，当是负实数，D代表积分。请注意，我们还没对一般函数给出分数阶导数的定义。但是，如果这一定义被发现，我们期望指数函数的分数阶导数遵循关系式（1）。我们注意到，刘维尔在他的论文[5]和[6]中就是采用这种方法去考虑微分的。问题问题1：在上述情况下，12121212()axaxaxaxDcececDecDe成立吗？问题2：在上述情况下，axaxDDeDe成立吗？问题3：上述1()axaxDeedx和2()axaxDeedxdx，真的正确吗？还是遗漏了一些东西？问题4：用蕴含在（1）式的想法，怎样对一般性的函数求分数阶导数？3三角函数：正弦函数和余弦函数我们对于正弦函数的导数很熟悉：012sinsin,sincos,sinsin,DxxDxxDxx这些对于寻求1/2sinDx，并没有明显的规律。但是，当我们画出这些函数的图形时，会挖掘出其中的规律。即每当我们求一次微分，sinx的图像向左平移/2。所以对sinx求n次微分，那么得到的图像就是sinx向左平移/2n，即得到sinsin()2nnDxx。如前，我们用任意数替换正整数n。所以，我们得到正弦函数的任意次导数的表达式，同理我们也得到余弦函数的：sinsin(),coscos().22DxxDxx（2）在得到表达式（2）之后，我们自然想，这个猜测与指数函数的结果是否保持一致。为了验证这个猜测，我们可以使用欧拉公式cossinixexix。利用表达式（1），我们可以计算得到(/2)cos()sin()22ixixiixDeieeexix，这与（2）式是吻合的。问题问题5：sin()Dax是什么？4px的导数我们现在看看x次方的导数。我们以px为例有：012,,(1),,(1)(2)(1).(3)ppppppnppnDxxDxpxDxppxDxppppnx表达式（3）用连乘()!pn的分子和分母去替换，则得到结果如下(1)(2)(1)()(1)1!(4)()(1)1()!ppnpnppppnpnpnpxxxpnpnpn上式就是npDx的一般表达式。我们通过伽玛函数，用任意数替换正整数n。当（4）式中的p和n是不是自然数时，伽玛函数使他们在替换后任然有意义。伽马函数是欧拉在18世纪引进的概念。当时是推广记号!z，当z不是整数时。它的定义是10()dtzzett，它具有这样的性质(+1)!zz。那么我们可以将表达式（4）重新写作(1),(1)nppnpDxxpn这使得当n不是整数式，（4）式还是有意义的。所以对于任意的，我们写作(1)(5)(1)pppDxxp利用（5）式，我们可以将分数阶导数延伸到很多的函数。因为对于任意给定的函数，我们可以利用Taylor级数展开成多项式的形式，0(),nnnfxax假设我们可以对()fx进行任意次微分，那么我们得到00(1)().(6)(1)nnnnnnnDfxaDxaxn最终那个表达式（6）呈现出具有作为分数阶导数定义候选项的气质。因为大量的函数都可以利用Taylor公式展开成幂级数的形式。然后，我们很快会发现它会导致矛盾的产生。问题问题6：()Dfx是否有几何意义？5一个神秘的矛盾我们将xe的分数阶导数写为(7)xxDee现在让我们拿它与（6）式进行对比，看看他们是否一致。从Taylor级数来看，01,!xnnexn结合（6）式，我们得到如下表达式0.(8)(1)nxnxDen但是，（7）及（8）是不等价的，除非是整数。当是整数时，（8）式的右侧是xe的级数形式，只是用不同的表达方式。但是当不是整数时，我们得到两个完全不一样的函数。我们发现了历史上引起大问题的矛盾。这看起来好像我们，指数函数的分数阶导数的表达式（1）与次方函数的分数阶导数的公式（6）是相互矛盾。正是因为有这样一个矛盾，所以分数阶微积分一般不会出现在初等阶段的教科书里面。在传统的微积分中，导数的次数是整数次的，求导的函数是初等函数。不幸的是，在分数阶微积分中，这是不正确的。通常，一个初等函数的分数阶导数是较高级的超越函数。关于分数阶导数的表格，请参阅文献[3]。此时，您可能会问我们怎么继续探究呢？这个谜团将在之后的部分中被解决。敬请关注……6多重迭代积分我们一直在谈论导数。积分也是反复被提及的。我们可以写1()()Dfxfxdx，但是等式右边是不确定的。我们可以写作10()()xDfxftdt。第二次积分可以写成2211200()()xtDfxftdtdt。积分区域是图1中的三角形。如果我们交换积分的顺序，那么图1的右侧图可以表现出121210()()xxtDfxftdtdt。因为1()ft不是一个关于2t的函数，所以可以将里面的积分移到外面，即1212111100()()()()xxxtDfxftdtdtftxtdt或者20()()()xDfxftxtdt。使用相同的过程步骤，我们可以写出32430011()()(),()()(),223xxDfxftxtdtDfxftxtdt在一般情况下，101()()().(1)!xnnDfxftxtdtn现在，我们用先前做的方法，用任意数替换n，用伽玛函数替换阶乘，然后得到101()().(9)()()xftdtDfxxt这个一般性的表达式（使用积分）的分数阶导数表达式，有成为定义的潜力。但是存在一个问题。如果1,该积分是反常积分。因为当,0.txxt对任意0，积分是发散的。当10,反常积分收敛。所以当是负数时，原表达式是正确的。因此当是负数时（9）式收敛，即它是一个分数阶次积分。在我们结束这一部分之前，需要提下，趋于零的下极限是任意的。可以简单的认为存在下极限b。但是会造成最后结果表达式的不同。正因为如此，很多这个领域的研究人员使用符号()bxDfx。这个符号说明了极限过程是从b到x的。这样我们从（9）式得到11()().(10)()()xbxbftdtDfxxt问题问题7：如下分数阶微分b的下极限是什么？(1)()()(1)ppbxpDxcxcp7解秘现在，你可以开始去发现前面哪些地方出错了。我们对于分数阶积分包含极限，并不感到惊讶。因为积分是涉及到极限的。然而普通的导数不涉及积分的极限，没有人希望分数阶导数包含这样的极限。我们认为，导数是函数的局部性质。分数阶导数的符号D既包含导数（是正数）又有积分（是负数）。积分是处于极限之中的。事实证明，分数阶导数也是处于极限之中的。出现该对矛盾的原因是，我们使用了两种不同的极限。现在，我们可以解决这个谜团了。秘密是什么？让我们停下来想一想。表达式（1）中指数函数起作用的极限是什么？记得我们要期望写成11.(11)xaxaxaxbxbDeedxeab取什么值时，将得到这个答案？由于在（11）式中积分就是11.xaxaxabbedxeeaa为了得到我们想要的形式，只有当10abea时。即.ab如果a是正数，那么b。这种类型的拥有下极限为的积分，有时也称为Weyl分数阶导数。从（10）的符号，我们可以将（1）写做.axaxxDeae极限在公式（5）px的导数中是起什么作用？我们有111.11ppxppbxbxbDxxdxpp同样，我们希望101pbp。当0b时，结论是成立的。所以我们觉得将（5）的符号写成0(1)(1)ppxpxDxp更准确。因此，表达式（5）中隐含了pDx的下极限为0。然而，表达式（1）中axDe的下极限为-。这个差异就是（7）和（8）为什么不等价的原因。在（7）中我们计算axxDe，在（8）中我们计算0axxDe。如果读者希望继续这一研究，我们推荐Miller的一篇很好的论文[8]，和由Oldham和Spanie合著的优秀图书[11]，以及Miller和Ross合著的优秀图书[9]。这两本书都包含了从很多文献角度分数阶微积分简短精要的历史。由Miller和Ross合著的图书[9]很好地讨论了分数阶微分方程。Wheeler的注记[14]是另一个这方面一流的介绍性文章，具有很高的推广普及价值。Wheeler给出了几个简单的应用例子，而且阅读起来非常有趣。其他的历史性文献请参考[1，2，4，5，6，10，13]。8问题的解答以下是文章中8个问题的简短回答。问题1：成立的，这个性质是保持的。问题2：成立的，这个由关系式（2.2）很容易证明。问题3：遗漏了一些东西。遗漏的是积分常数。应该是这样的1122112axaxaxaxaxaxDeedxaecDeedxaecxc问题4：将()fx展开成傅立叶级数形式，()inxnnfxce。假设我们可以连续次地取分数阶微分，我们得到()()inxnnDfxcine。问题5：