提分攻略2：剖析高考数学的11大热点问题-

考前抢分攻略第二篇攻略2：考前必明的11大热点问题栏目导航方法1方法2方法3方法4方法5方法6方法7方法8方法9方法10方法11方法12方法13方法14返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)热点1数学文化问题由于以数学文化为背景的新颖试题，能将数学知识、方法、文化融为一体，有效考查考生在新情境下对知识的理解以及迁移到不同情境中的能力，因此备受命题者的喜爱，此类问题以数学文化为背景，与程序框图、立体几何、解析几何、三角函数、数列、统计、概率等知识相交汇呈现．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[典例1]秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9B．18C．20D．35B解析：由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，第一次循环：v＝4，i＝1；第二次循环：v＝9，i＝0；第三次循环：v＝18，i＝－1．结束循环，输出当前v的值18．故选B．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[点评]破解此类问题的关键：一是读懂数学文化的背景含义；二是抽象函数模型的能力，即将问题转化为数列模型的能力.返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)◎举一反三1．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A．227B．258C．15750D．355113解析由题意知275L2h≈13πr2h⇒275L2≈13πr2，而L≈2πr，代入得π≈258．B返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)解析由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·122x＝12.6.解得x＝1.6．2．(2018·三明模拟)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x的值为________．1.6返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)热点2解三角形的不衰问题解三角形是高考的热点，既可以单独考查，又可以综合考查，尤其作为解答题的“头号”热点对待.命题的重点多以解三角形的边与角的三角函数的关系式呈现，求指定边、指定角，三角形周长，三角形面积的最值，指定角的正弦、余弦、正切值等，求指定边和角的问题常需借助正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式等来解决，有最值问题常需借助三角函数的性质和三角恒等变换公式予以解决．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[思路点拨](1)利用余弦定理表示出cosC，把已知等式利用正弦定理化简，整理后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．(2)设∠ADC＝α，则∠CDB＝π－α.在△ADC与△CDB中，由余弦定理可得：b2＋a2＝20，在△ABC中，由余弦定理可得：b2＋a2＋ba＝24.可得ba＝4.即可得出．[典例2]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B－cos2C－sin2A＝sinAsinB．(1)求角C；(2)若c＝26，△ABC的中线CD＝2，求△ABC面积S的值．解返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)解：(1)∵△ABC的三个内角为A，B，C，且cos2B－cos2C－sin2A＝sinAsinB．sin2C－sinAsinB＝sin2A＋sin2B，∴由正弦定理化简得：c2－ab＝a2＋b2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab，可得：cosC＝－12，∵0＜C＜π，∴C＝2π3．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)(2)设∠ADC＝α，则∠CDB＝π－α．在△ADC中，由余弦定理可得：b2＝22＋(6)2－2×6×2×cosα，在△CDB中，由余弦定理可得：a2＝22＋(6)2－2×2×6cos(π－α)，∴b2＋a2＝20，在△ABC中，由余弦定理可得：(26)2＝b2＋a2－2bacos2π3，化为：b2＋a2＋ba＝24．∴ba＝4.∴S△ABC＝12basin2π3＝3．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[点评]破解此类问题的关键是过好“三关”：第一关，设计关，分析已知等式的边角关系，合理设计“边”化“角”，还是“角”化“边”；第二关，化简关，即利用三角函数公式进行三角恒等变换；第三关，定理关，利用正、余弦定理，三角形面积公式等将三角形中边角进行互化.返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)◎举一反三3．(2018·太原月考)如图，已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°．(1)若c＝1，求△ABC面积的最大值；(2)若a＝2b，求tanA．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)解(1)由余弦定理得a2＋b2－2abcos120°＝1，a2＋b2＋ab＝1≥2ab＋ab＝3ab，当且仅当a＝b时取等号；解得ab≤13，故S△ABC＝12absinC＝34ab≤312，即f(x)面积的最大值为312．(2)因为a＝2b，由正弦定理得sinA＝2sinB，又C＝120°，故A＋B＝60°，∴sinA＝2sin(60°－A)＝3cosA－sinA，∴3cosA＝2sinA，∴tanA＝32．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)热点3数列的通项与求和问题数列的通项与求和问题是高考考查的热点，命题的重点多以等差数列、等比数列为背景，求其通项公式与前n项和，简单数列不等式的证明，求数列中的最值问题，会涉及考查等量问题、代数形式与推理、基本量的求解等．其中方程思想、消元法经常用到，且在数列求和问题中，错位相减法与裂项相消法是常用技巧．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[典例3](2018·银川月考)观察下列三角形数表：假设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N*)，(1)归纳出an＋1与an的关系式，并求出an的通项公式；(2)设anbn＝1(n≥2)，求证：b2＋b3＋…＋bn＜2．[思路点拨](1)利用数列的关系归纳出an＋1与an的关系式，利用累加法求解即可．(2)利用放缩法化简通项公式，通过裂项消项法求解即可．解返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)(1)解：依题意an＋1＝an＋n(n≥2)，a2＝2，an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3＋…＋(n－1)＝2＋n－2n＋12，所以an＝12n2－12n＋1(n≥2)．(2)证明：因为anbn＝1，所以bn＝2n2－n＋2＜2n2－n＝21n－1－1n，b2＋b3＋b4＋…＋bn＜211－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝21－1n＜2．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[点评]有关数列与不等式相交汇问题的关键是会转化，即把所给数列的通项与前n项和的关系转化为数列的递推式，再把递推式进行转化.返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)◎举一反三4．(2018·邵阳模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)(1)求a的值及数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(1－an)log3(a2n·an＋1)，求1bn的前n项和为Tn．解(1)∵等比数列{an}满足6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)，n＝1时，6a1＝9＋a；n≥2时，6an＝6(Sn－Sn－1)＝3n＋1＋a－(3n＋a)＝2×3n．∴an＝3n－1，n＝1时也成立，∴1×6＝9＋a，解得a＝－3．∴an＝3n－1．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)(2)bn＝(1－an)log3(a2n·an＋1)＝(1＋3n)log3(32n－2·3n)＝(3n＋1)(3n－2)，∴1bn＝1313n－2－13n＋1．1bn的前n项和为Tn＝131－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1＝131－13n＋1＝n3n＋1．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)热点4立体几何中的“常青树”——平行、垂直与体积问题近几年高考立体几何试题以中档为主，热点问题主要有证明空间线面平行、垂直的位置关系，求多面体体积(热点是三棱锥与四棱锥的体积)和距离(热点是两点间的距离问题，点面距离问题)．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[典例4](2018·青州月考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥ABCB1的体积．[思路点拨](1)连接ED，证明：BD⊥AC，A1A⊥BD，即可证明BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，利用体积公式求三棱锥ABCB1的体积．解返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)(1)证明：连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C∥ED，∵E为AB1中点，∴D为AC中点，∵AB＝BC，∴BD⊥AC①，由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥BD②，由①②及A1A、AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，得BD⊥平面A1ACC1．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)(2)解：由AB＝1得BC＝BB1＝1，由(1)知DA＝12AC，又AC·DA＝1得AC2＝2，∵AC2＝2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC，∴S△ABC＝12AB·BC＝12∴VA­BCB1＝13S△ABC·BB1＝13×12×1＝16．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)◎举一反三5．(2018·台州模拟)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，点E在AD上，且AE＝2ED．(1)已知点F在BC上，且CF＝2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；(2)若△PBC的面积是梯形ABCD面积的43，求点E到平面PBC的距离．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)(1)证明∵AB⊥AC，AB＝AC，∴∠ACB＝45°，∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，∴∠ACD＝45°，即AD＝CD，∴BC＝2AC＝2AD，∵AE＝2ED，CF＝2FB，∴AE＝BF＝23AD，返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)∴四边形ABFE是平行四边形，则AB∥EF，∴AC⊥EF，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，∵PA∩AC＝A，∴EF⊥平面PAC，∵EF⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)(2)解∵PA⊥底面ABCD，且AB＝AC，∴PB＝PC，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，AG＝CD＝1设PA＝x，连接PG，则PG＝x2＋1，∵侧面PBC的面积是底面ABCD的43倍，∴12×2·PG＝43×12×(1＋2)，即PG＝2，求得x＝3，∵AD∥BC，∴E到平面PBC的距离即是A到平面PBC的距离，∵VA­PBC＝VP­ABC，S△PBC＝2S△ABC，∴E到平面PBC的距离为12PA＝32．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)热点5统计与概率