高中数学必修五不等式知识点+练习题含答案解析(非常详细-)

第一部分必修五不等式知识点整理第三章不等式1.不等式的性质:①不等式的传递性:cacbba,②不等式的可加性:,,cbcaRcba推论:dbcadcba③不等式的可乘性:000;0;0bdacdcbabcaccbabcaccba④不等式的可乘方性:00;00nnnnbabababa2.一元二次不等式及其解法:①.cbxaxxfcbxaxcbxax222,0,0注重三者之间的密切联系。如：2axbxc＞0的解为：＜x＜,则2axbxc＝0的解为12,xx；函数2fxaxbxc的图像开口向下，且与x轴交于点,0，,0。对于函数cbxaxxf2，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。②.注意二次函数根的分布及其应用.如：若方程2280xax的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有(0)f＞0且(1)f＜0且(4)f＜0且(5)f＞03.不等式的应用：①基本不等式：222220,0,,2,22ababababababab当a＞0,b＞0且ab是定值时，a+b有最小值；当a＞0,b＞0且a+b为定值时，ab有最大值。②简单的线性规划:00ACByAx表示直线0CByAx的右方区域.00ACByAx表示直线0CByAx的左方区域解决简单的线性规划问题的基本步骤是：①.找出所有的线性约束条件。②.确立目标函数。③.画可行域，找最优点，得最优解。需要注意的是，在目标函数中，x的系数的符号，当A＞0时，越向右移，函数值越大，当A＜0时，越向左移，函数值越大。⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;zAxBy②“斜率”型：yzx或;ybzxa③“距离”型：22zxy或22;zxy22()()zxayb或22()().zxayb画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0lAxBy，平移直线0l（据可行域，将直线0l平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)xy；第四步，将最优解(,)xy代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.第二步中最优解的确定方法：利用z的几何意义：AzyxBB,zB为直线的纵截距.①若0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；②若0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.第二部分必修五练习题含答案解析第一章不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设a，b，c，d∈R，且ab，cd，则下列结论中正确的是()A.acbdB.a－cb－dC.a＋cb＋dD.adbc答案C解析∵ab，cd，∴a＋cb＋d.2.不等式1x12的解集是()A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(0,2)D.(－∞，0)∪(2，＋∞)答案D解析由1x12，得1x－12＝2－x2x0，即x(2－x)0，解得x2或x0，故选D.3.设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则()A.MNB.M≥NC.MND.M≤N答案A解析∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋20.∴MN.4.已知点P(x0，y0)和点A(1,2)在直线l：3x＋2y－8＝0的异侧，则()A.3x0＋2y00B.3x0＋2y00C.3x0＋2y08D.3x0＋2y08答案D解析设f(x，y)＝3x＋2y－8，则由题意，得f(x0，y0)·f(1,2)0，得3x0＋2y0－80.5.不等式x2－ax－12a20(其中a0)的解集为()A.(－3a,4a)B.(4a，－3a)C.(－3,4)D.(2a,6a)答案B解析方程x2－ax－12a2＝0的两根为4a，－3a，且4a－3a，∴4ax－3a.6.已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为()A.3B.6C.9D.12答案A解析由题意知y＝x＋3z2，所以y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz＝x2＋9z24xz＋32≥29x2z24xz＋32＝32＋32＝3(当且仅当x2＝9z2时等号成立)，所以y2xz的最小值为3.7.方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是()A.(－5，－4]B.(－∞，－4]C.(－∞，－2)D.(－∞，－5)∪(－5，－4]答案A解析令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，要使f(x)＝0的两根都大于2，则Δ＝m－22－45－m≥0，f20，－m－222，解得：m2≥16，m－5⇒－5m≤－4，m－2.故选A.8.如果log3m＋log3n≥4，那么m＋n的最小值为()A.4B.43C.9D.18答案D解析∵log3m＋log3n＝log3mn≥4，∴mn≥34，又由已知条件隐含着m0，n0.故m＋n≥2mn≥234＝18，当且仅当m＝n＝9时取到最小值.∴m＋n的最小值为18.9.已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是()A.(1－3，2)B.(0,2)C.(3－1,2)D.(0,1＋3)答案A解析如图，根据题意得C(1＋3，2).作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1＋3，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋3)＋2z－1＋3，∴z＝－x＋y的取值范围是(1－3，2).10.已知函数f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x0，则不等式f(x)≥x2的解集是()A.[－1,1]B.[－2,2]C.[－2,1]D.[－1,2]答案A解析f(x)≥x2⇔x≤0，x＋2≥x2或x＞0，－x＋2≥x2⇔x≤0，x2－x－2≤0或x0，x2＋x－2≤0⇔x≤0，－1≤x≤2或x0，－2≤x≤1⇔－1≤x≤0或0x≤1⇔－1≤x≤1.11.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C.5D.6答案C解析∵x＋3y＝5xy，∴15y＋35x＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y)(15y＋35x)＝3x5y＋95＋45＋12y5x≥135＋23x5y·12y5x＝5，当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝1，y＝12时等号成立.12.设x，y满足约束条件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为()A.256B.83C.113D.4答案A解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)，当直线ax＋by＝z(a0，b0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a0，b0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)·2a＋3b6＝136＋(ba＋ab)≥136＋2＝256(当且仅当a＝b＝65时取等号).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是________.答案(－1,3)解析∵x2－2x－(a2－2a－4)≤0的解集为∅，∴Δ＝4＋4(a2－2a－4)0，∴a2－2a－30，∴－1a3.14.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)5的解集是________.答案{x|－7x3}解析令x0，则－x0，∵x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x0时，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝x2－4x，x≥0，x2＋4x，x0.再求f(x)5的解，由x≥0，x2－4x5，得0≤x5；由x0，x2＋4x5，得－5x0，即f(x)5的解集为(－5,5).由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)5的解集为{x|－7x3}.15.若变量x，y满足条件3x－y≤0，x－3y＋5≥0，则z＝x＋y的最大值为________.答案52解析作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，作出直线l：x＋y＝0，由图可知当l平移到A点时，z最大.解方程组3x－y＝0，x－3y＋5＝0，得x＝58，y＝158，∴A(58，158)，∴zmax＝58＋158＝208＝52.16.设a＋b＝2，b0，则当a＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值.答案－2解析由于a＋b＝2，所以12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b，由于b0，|a|0，所以b4|a|＋|a|b≥2b4|a|·|a|b＝1，因此当a0时，12|a|＋|a|b的最小值是14＋1＝54；当a0时，12|a|＋|a|b的最小值是－14＋1＝34.故12|a|＋|a|b的最小值为34，此时b4|a|＝|a|b，a0，即a＝－2.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)当x3时，求函数y＝2x2x－3的值域.解∵x3，∴x－30.∴y＝2x2x－3＝2x－32＋12x－3＋18x－3＝2(x－3)＋18x－3＋12≥22x－3·18x－3＋12＝24.当且仅当2(x－3)＝18x－3，即x＝6时，上式等号成立，∴函数y＝2x2x－3的值域为[24，＋∞).18.(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋60的解集是{x|－3x1}.(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a0；(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.解(1)由题意知1－a0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴1－a0，41－a＝－2，61－a＝－3，解得a＝3.∴不等式2x2＋(2－a)x－a0，即为2x2－x－30，解得x－1或x32.∴所求不等式的解集为{x|x－1或x32}.(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.19.(12分)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.解方法一f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.方法二令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或Δ0，a－1，g－1≥0，解得－3≤a≤1.20.(12分)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元.甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、