《椭圆及其标准方程》优秀课件

椭圆及其标准方程设置情境问题诱导2005年10月12日上午9时，“神舟六号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神舟六号”载人飞船的运行轨道是什么？神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道.如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆一.问题情境一、椭圆的定义取一条定长的细绳，把细绳的两端绑在两个图钉上，让图钉固定在两点处(有一定距离)，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？2.椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。1F2FM几点说明：1、F1、F2是两个不同的定点；2、M是椭圆上任意一点，且|MF1|+|MF2|=常数；3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a2c（？）；4、如果2a=2c，则M点的轨迹是线段F1F2.5、如果2a2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）化简列式设点建系F1F2xy以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．P(x,y)设P(x，y)是椭圆上任意一点设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)-,0c,0cF1F2xyP(x,y)-,0c,0c椭圆上的点满足|PF1|+|PF2|为定值，设为2a，则2a2c则：2222+++-+=2xcyxcya2222++=2--+xcyaxcy2222222++=4-4-+-+xcyaaxcyxcy222-c=-+axaxcy22222222-+=-acxayaac设222-=0acbb得即：2222+=10xyababOxyOF1F2Pb2x2+a2y2=a2b2探究：如何建立椭圆的方程？方程特点（2）在椭圆两种标准方程中，总有ab0；（4）a、b、c都有特定的意义，a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距.有关系式成立。xOF1F2y2.椭圆的标准方程OF1F2yx(3)谁的分母大，焦点就在谁的轴上；12222byax12222bxay（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；222cbaabcP课堂练习11625)1(22yx11)5(2222mymx11616)3(22yx0225259)4(22yx123)2(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示椭圆？?2、填空：(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________1162522yx543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a15422yx(2)已知椭圆的方程为：,则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：__________，焦距等于_________;若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于则∆F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)25352252PF1F2|PF1|+|PF2|=2a3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；2212516yx2216xy(1)a=,b=1,焦点在x轴上；6(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).2211612xy22xy+=149小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.4、已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是.22xy+=14m(0,4)变1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是.22xy+=1m-13-m(1,2)例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.求它的标准方程.53(,)22解法一：因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为22221(0).xyabab由椭圆的定义知222253532(2)()(2)()2102222a例题演练例题演练又因为,所以2c因此,所求椭圆的标准方程为221.106xy2221046.bac所以10.a思考：还能用其他方法求它的方程吗？解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:22221(0).xyabab2c224ab22532222()()1ab又由已知①②联立①②,22106ab解得，因此,所求椭圆的标准方程为:221.106xy(2,0),(2,0)又∵焦点的坐标为例题演练变式1.已知椭圆的两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P（-1.5，2.5）.求它的标准方程解：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为)0(12222babxay∵c=2，且c2=a2-b2∴4=a2-b2……①又∵椭圆经过点2523，∴……②1)()(22232225ba联立①②可求得：6,1022ba∴椭圆的标准方程为161022xy(法一)xyF1F2P(法二)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa　　又　　所以所求椭圆的标准方程为.161022xy)0(12222babxay求椭圆标准方程的方法1、定义法;2、待定系数法解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程.4.椭圆的标准方程012222babyax12yoFFMxyxoF2F1M012222babxay定义图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a注意：（3）若a2在x2之下，则焦点在x轴上；若a2在y2之下，则焦点在y轴上.（2）a、b、c有关系式：c2=a2-b2，即a2=b2+c2，a最大.（1）在两种方程中，总有ab0;求动点的轨迹方程例1、如果点在运动过程中，总满足关系式，2222(3)(3)10,xyxy点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。方法1：定义法1、方程10332222yxyx表示________。2、方程表示________。6332222yxyx10332222yxyx3、方程表示________。4、方程的解是________。10434322xx变式思考：例2如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？yxDPMO方法2：代入法..44444244)(.2)(,222220200,02020220,00,00,0的轨迹是一个椭圆所以点即，得代入方程把上，所以在圆因为则的坐标为）点的坐标为（解：设点MyxyxyxyyxxyxyxyxPyyxxyxPyxM变式1已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．[精解详析]以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4，0)，c＝4.由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10；但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．变式2：已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.由题意得动圆M内切于圆C1，∴|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，∴|MC2|＝3＋r.∴|MC1|＋|MC2|＝16|C1C2|＝8，∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x264＋y248＝1.例3如图，设点A、B的坐标分别为(-5,0)，(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为,求M的轨迹方程.49ABMyOx方法3：直接法)5(1910025)5(55)5(5)5(5,)0,5(,22xyxMxxyxyxxykBMxxykAMAyxMBMAM的轨迹方程为化简，得点由已知有的斜率同理，直线的斜率直线，所以的坐标是）因为点的坐标为（解：设点