高中数学选修-不等式选讲p

1不等式选讲11．若,ab是任意的实数,且ab,则()(A)22ba(B)1ab(C)lg()0ab(D)ba)21()21(2．不等式32x的解集是()(A))32,((B))32,(),0((C))0,32(),0((D))0,32(3．不等式125xx的解集为()(A),22,(B),21,(C),32,(D),23,4．若0n,则232nn的最小值为()(A)2(B)4(C)6(D)85．若A=(3)(7)xx，B=(4)(6)xx，则A，B的大小关系为__________.6．设a，b，c是不全相等的正数，求证：1）()()()8abbccaabc；2）abcabbcca.7.．已知x，yR，求证222xy≥2()2xy8．如图1，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？9．已知a，b，0c，且不全相等，求证222222()()()6abcbaccababc.10．已知1a，2a，…，Ran，且121naaa，求证nnaaa2)1()1)(1(21.B组11.已知x，0y，且2yx.试证：yx1，xy1中至少有一个小于2.12.求函数xxy21015的最大值.13.已知122ba，求证sincosba≤1.14.已知12yx，求22yx的最小值.15.已知10432zyx，求222zyx的最小值.216.已知a，b，c是正数，求证2229abbccaabc.17.证明：)(53Nnnn能够被6整除.18.设,,abcR,求证：32abcbccaab.不等式选讲答案1.D.提示：注意函数1()2xy的单调性；2.B.提示：先移项，再通分，再化简；3.D.提示：当x≤－2时，原不等式可以化为(1)(2)xx≥5，解得x≤－3，即不等式组2125xxx的解集是(,3].当21x时，原不等式可以化为(1)(2)xx≥5，即3≥5，矛盾.所以不等式组21125xxx，的解集为，当x≥1时，原不等式可以化为(1)(2)xx≥5，解得x≥2，即不等式组1125xxx的解集是[2,).综上所述，原不等式的解集是(,3][2,);4.C.提示：22323222nnnnn;5.AB.提示：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系.因为(3)(7)(4)(6)xxxx22(1021)(1024)xxxx30所以(3)(7)(4)(6)xxxx;6．提示：2abab，2bcbc，2caca分别将以上三式相乘或相加即可;7.提示:222222222()()2()2442xyxyxyxyxyxy;8.提示:设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则2(2)Vaxx3311(2)(2)42(2)(2)4[]44327axaxxaaxaxx当且仅当224axaxx，即当6ax时，不等式取等号，此时V取最大值3227a.即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，盒子容积最大.39.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.证明：因为22bc≥2bc，0a，所以22()abc≥2abc.①因为22ca≥2ac，0b，所以22()bca≥2abc.②因为22ab≥2ab，0c，所以22()cab≥2abc.③由于a，b，c不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得222222()()()6abcbaccababc.10．提示：观察要证明的结论，左边是n个因式的乘积，右边是2的n次方，再结合121naaa，发现如果能将左边转化为1a，2a，…，na的乘积，问题就能得到解决.证明：因为Ra1，所以111121aaa，即1121aa.同理，2221aa，……nnaa21.因为1a，2a，…，Ran，由不等式的性质，得nnnnaaaaaa22)1()1)(1(2121.因为1ia时，iiaa21取等号，所以原式在121naaa时取等号.11.提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法.证明：假设yx1，xy1都不小于2，即21yx，且21xy.因为x，0y，所以yx21，且xy21.把这两个不等式相加，得)(22yxyx，从而2yx.这与已知条件2yx矛盾.因此，yx1，xy1都不小于2是不可能的，即原命题成立.12.提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为bdac的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解：函数的定义域为5,1，且0y.xxy521522225(2)(1)(5)xx36427当且仅当xx5512时，等号成立，即27127x时函数取最大值36.13.提示:2cossin(cossin)abab222222()(cossin)1abab414.提示:22222221(2)(12)()5()xyxyxy2215xy.15.提示:2222222100(234)(234)()xyzxyz222100.29xyz16.提示:111[2()]()abcabbcca2111[()()()]()(111)9.2229.abbccaabbccaabbccaabc17.提示：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证1n时命题成立；第二步要明确目标，即在假设kk53能够被6整除的前提下，证明)1(5)1(3kk也能被6整除.证明：1）当1n时，653nn显然能够被6整除，命题成立.2）假设当)1(kkn时，命题成立，即kk53能够被6整除.当1kn时，55133)1(5)1(233kkkkkk633)5(23kkkk6)1(3)5(3kkkk.由假设知kk53能够被6整除，而)1(kk是偶数，故)1(3kk能够被6整除，从而6)1(3)5(3kkkk即)1(5)1(3kk能够被6整除.因此，当1kn时命题成立.由1）2）知，命题对一切正整数成立，即)(53Nnnn能够被6整除;18.证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：91112abcbccaab即只须证：111[2()]()9abcbccaab由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。（法二）由对称性，不妨设：0abc,则111bccaab，所以：（顺序和）abcbcabccaabbccaab（乱序和）（顺序和）abccabbccaabbccaab（乱序和）将以上两式相加即得：32abcbccaab.