高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何篇

56.你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。（）向量的模——有向线段的长度，2||a（）单位向量，3100||||aaaa（）零向量，4000||（）相等的向量长度相等方向相同5ab在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。babba∥存在唯一实数，使()0（7）向量的加、减法如图：OAOBOCOAOBBA（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）eea12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量12112212aeeee的一组基底。（9）向量的坐标表示ijxy，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得axiyjxyaaxy，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示。设，，，axybxy1122则，，，abxyyyxyxy11121122axyxy1111，，若，，，AxyBxy1122则，ABxxyy2121||ABxxyyAB212212，、两点间距离公式57.平面向量的数量积（）··叫做向量与的数量积（或内积）。1ababab||||cos为向量与的夹角，，ab0BbODAa数量积的几何意义：ababab·等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos（2）数量积的运算法则①··abba②··()abcacbc③·，·，abxyxyxxyy11221212注意：数量积不满足结合律····()()abcabc（）重要性质：设，，，31122axybxy①⊥···ababxxyy001212②∥··或··ababababab||||||||abb（，惟一确定）0xyxy12210③，··aaxyabab221212||||||||④···cos||||ababxxyyxyxy121212122222［练习］（）已知正方形，边长为，，，，则11ABCDABaBCbACc||abc答案：22（）若向量，，，，当时与共线且方向相同214axbxxab答案：2（）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么3603ababo||答案：1358.线段的定比分点设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在PxyPxyPxyPPP11122212ll上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段PPPPPPP1212PPPPPPPP12121200所成的比（，在线段内，，在外），且xxxyyyPPPxxxyyy12121212121122，为中点时，如：，，，，，，ABCAxyBxyCxy112233则重心的坐标是，ABCGxxxyyy12312333※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面线面平行的判定：abbaa∥，面，∥面ab线面平行的性质：∥面，面，∥bab三垂线定理（及逆定理）：PAAOPO⊥面，为在内射影，面，则aaOAaPOaPOaAO⊥⊥；⊥⊥aPO线面垂直：abacbcbcOa⊥，⊥，，，⊥aOαbc面面垂直：aa⊥面，面⊥面⊥面，，，⊥⊥llaaaαalβabab⊥面，⊥面∥面⊥，面⊥∥aaab60.三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°＝时，∥或0bob（）二面角：二面角的平面角，30180loo（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）三类角的求法：①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。［练习］（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。证明：·coscoscosAOBCDαθβ（为线面成角，∠，∠）AOC=BOC=（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。①求BD1和底面ABCD所成的角；②求异面直线BD1和AD所成的角；③求二面角C1—BD1—B1的大小。D1C1A1B1HGDCAB（①；②；③）arcsinarcsin346063o（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。PFDCAEB（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）61.空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：（1）点C到面AB1C1的距离为___________；（2）点B到面ACB1的距离为____________；（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。DCABD1C1A1B162.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：RtSOBRtSOERtBOERtSBE，，和它们各包含哪些元素？SChCh正棱锥侧·（——底面周长，为斜高）12''V锥底面积×高1363.球有哪些性质？（）球心和截面圆心的连线垂直于截面122rRd（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。（），球球444323SRVR（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。如：一正四面体的棱长均为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面2积为（）ABCD....34336答案：A64.熟记下列公式了吗？（）直线的倾斜角，，，102212112lkyyxxxxtanPxyPxyak1112221，，，是上两点，直线的方向向量，ll（2）直线方程：点斜式：（存在）yykxxk00斜截式：ykxb截距式：xayb1一般式：（、不同时为零）AxByCAB0（）点，到直线：的距离30000022PxyAxByCdAxByCABl（）到的到角公式：41122112lltankkkkll1221121与的夹角公式：tankkkk65.如何判断两直线平行、垂直？ABABACAC1221122112ll∥kkl1212l∥（反之不一定成立）AABB1212120ll⊥kk12121·⊥ll