4.1全称量词与存在量词讲义

1全称量词与存在量词讲义知识要点：一、全称量词：1、定义：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。例如：“对任意的nZ，21n是奇数”；“所有的正方形都是矩形”都是全称命题。2、通常，将含有变量x的语句用,,,pxqxrx…表示，变量x的取值范围用M表示。那么，全称命题“对M中任意一个x，有px成立”可用符号简记为：,,xMpx读作“对任意x属于M，有px成立”。例1判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数是奇数（2）2,11xRx（3）对每一个无理数x，2x也是无理数。分析：要判断全称命题“,xMpx”是真命题，需要对集合M中的每一元素x，证明px成立；如果在集合M中找到一个元素0x，使得0px不成立，那么这个全称命题就是假命题。解：（1）2是素数，但2不是奇数。所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题。（2）2,0xRx总有，因而211x。所以全称命题“2,11xRx”是真命题。（3）2是无理数，但222是有理数。所以，全称命题“对每一个无理数x，2x也是无理数”是假命题。二、存在量词：1、定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。例如：“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是特称命题。2、特称命题“存在M中的一个x，使px成立”可用符号简记为：,xMpx，读作“存在一个x属于M，使px成立”。例2判断下列特称命题的真假：（1）有一个实数x，使2230xx；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有些整数只有两个正因数。分析：要判定特称命题“,xMpx”是真命题，只需在集合M中找到一个元素0x，使得0px成立即可。如果在集合M中，使px成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题。2解：（1）由于22,23122xRxxx，因此使2230xx的实数x不存在。所以，特称命题“有一个实数x，使2230xx”是假命题。（2）由于垂直于同一条直线的两个平面平行，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线。所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题。（3）由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以，特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题。三、含有一个量词的命题的否定1、一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：,xMpx，它的否定p：,xMpx。即：全称命题的否定是特称命题。例3写出下列全称命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p：对任意xZ，2x得个位数字不等于3。解：（1）p：存在一个能被3整数的整数都是奇数；（2）p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；（3）p：Z,x2x的个位数字等于3。2、一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：,xMpx，它的否定p：,xMpx。即：特称命题的否定是全称命题。例4写出下列特称命题的否定：（1）p：2,220xRxx；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有一个素数含有三个正因数。解：（1）p：2,220xRxx；（2）p：所有的三角形都不是等边三角形；（3）p：每一个素数都不含有三个正因数。四、一些常用正面叙述的词语及它的否定词列表如下：正面词语等于（=）大于（）小于（）是都是至多有一个至少有一个任意的所有的一定…否定词语不等于（）不大于（）不小于（）不是不都是至多有两个一个也没有某个某些一定不…五、p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q；