高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

206习题十1.根据二重积分性质，比较ln()dDxy与2[ln()]dDxy的大小，其中：（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D表示矩形区域{(,)|35,02}xyxy.解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-112xy从而0ln()1xy故有2ln()[ln()]xyxy所以2ln()d[ln()]dDDxyxy（2）区域D如图10-2所示.显然，当(,)xyD时，有3xy.图10-2从而ln(x+y)1故有2ln()[ln()]xyxy所以2ln()d[ln()]dDDxyxy2.根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）4d,{(,)|02,02}DIxyDxyxy;（2）22sinsind,{(,)|0π,0π}DIxyDxyxy;（3）2222(49)d,{(,)|4}DIxyDxyxy.207解：（1）因为当(,)xyD时，有02x,02y因而04xy.从而2422xy故2d4d22dDDDxy即2d4d22dDDDxy而dD（σ为区域D的面积），由σ=4得84d82Dxy.(2)因为220sin1,0sin1xy，从而220sinsin1xy故220dsinsind1dDDDxy即220sinsinddDDxy而2π所以2220sinsindπDxy（3）因为当(,)xyD时，2204xy所以22229494()925xyxy故229d(49)d25dDDDxy即229(49)d25Dxy而2π24π所以2236π(49)d100πDxy3.根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）22222()d,{(,)|};DaxyDxyxya（2）222222d,{(,)|}.DaxyDxyxya208解：（1）22()d,Daxy在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以2231()dπ3Daxya（2）222dDaxy在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故22232dπ.3Daxya4.设f(x，y)为连续函数，求22200201lim(,)d,{(,)|()()}πDrfxyDxyxxyyrr.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D使得2(,)d(,)π(,)Dfxyfrf又由于D是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当0r时，00(,)(,),xy于是：0022200000(,)(,)11lim(,)dlimπ(,)lim(,)ππlim(,)(,)Drrrxyfxyrffrrffxy5.画出积分区域，把(,)dDfxy化为累次积分：（1）{(,)|1,1,0}Dxyxyyxy;(2)2{(,)|2,}Dxyyxxy(3)2{(,)|,2,2}Dxyyyxxx解：（1）区域D如图10-3所示，D亦可表示为11,01yxyy.所以1101(,)dd(,)dyDyfxyyfxyx(2)区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D可表示为22,12yxyy.图10-3图10-4209所以2221(,)dd(,)dyDyfxyyfxyx（3）区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线2yx的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线2yx与x=2的交点为（2，1），区域D可表示为22,12.yxxx图10-5所以2221(,)dd(,)dxDxfxyxfxyy.6.画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）2220d(,)dyyyfxyx;(2)eln10d(,)dxxfxyy;(3)1320d(,)dyyyfxyx;(4)πsin0sin2d(,)dxxxfxyy;(5)12330010d(,)dd(,)dyyyfxyyyfxyx.解：（1）相应二重保健的积分区域为D：202,2.yyxy如图10-6所示.图10-6D亦可表示为：04,.2xxyx所以2224002d(,)dd(,)d.yxxyyfxyxxfxyy(2)相应二重积分的积分区域D：1e,0ln.xyx如图10-7所示.210图10-7D亦可表示为：01,ee,yyx所以eln1e100ed(,)dd(,)dyxxfxyyyfxyx(3)相应二重积分的积分区域D为：01,32,yyxy如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：201,0,xyxD2：113,0(3).2xyx所以2113213(3)200010d(,)dd(,)dd(,)dyxxyyfxyxxfxyyxfxyy.(4)相应二重积分的积分区域D为：0π,sinsin.2xxyx如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：10,2arcsinπ;yyxD2：01,arcsinπarcsin.yyxy所以πsin0π1πarcsin0sin12arcsin0arcsin2d(,)dd(,)dd(,)dxyxyyxfxyyyfxyxyfxyx(5)相应二重积分的积分区域D由D1与D2两部分组成，其中211D1：01,02,yxyD2：13,03.yxy如图10-10所示.图10-10D亦可表示为：02,3;2xxyx所以123323001002d,dd(,)dd(,)dyyxxyfxyxyfxyxxfxyy7.求下列立体体积：（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax所围；（2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围.解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V=22()ddDxyxy其中D：22{(,)|}xyxyax由被积函数及积分区域的对称性知，V=2122()ddDxyxy，其中D1为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得cosπππcos34444222000001132dd2dcosdπ4232aaVrrraa.(2)由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22()dd,DVxyxy其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11D可表示为：211,1.xxy所以21122221()ddd()dDxVxyxyxxyy2122111232461111188d()d.333105xxyyxxxxx8.计算下列二重积分：（1）221dd,:12,;DxxyDxyxyx(2)edd,xyDxyD由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；（3）22dd,DxyxyD是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4)cos()dd,{(,)|0π,π}DxyxyDxyxxy.解：（1）22222231221111ddddddxxDxxxxxxyxyxxxxyyy2421119.424xx(2)积分区域D如图10-12所示.图10-12D可表示为：201,0.yxy所示22110000edddedded()xxxyyyyyDxxyyxyyy2111100000ed(e1)deddyxyyyyyyyyyyy1111120000011dedeed.22yyyyyyyyy(3)积分区域D如图10-13所示.213图10-13D可表示为：01,.xxyx所以21122222200ddddarcsind22xxDxxxyyxyxyxxyyxyxx112300ππ1πd.2236xxxππππ00ππ00π0(4)cos()dddcos()d[sin()]d[sin(π)sin2]d(sinsin2)d11.coscos222xDxxyxyxxyyxyxxxxxxxxx9.计算下列二次积分：10112111224sin(1)dd;(2)dedded.yyyyyyxxyxyxxyxyx解：（1）因为sindxxx求不出来，故应改变积分次序。积分区域D：0≤y≤1,y≤x≤y，如图10-14所示。图10-14D也可表示为：0≤x≤1,x2≤y≤x.所以21421112000111000111000sinsinsindddd()d(sinsin)dsindsindsindcosd1sin1.cosyxyxxxxyxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx(2)因为edyxx求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中121111:,,:1,.4222DyxyDyyxy如图10-15所示：图10-15积分区域D亦可表示为：211,.2xxyx于是：221111211111222241112111222deddeddedde3eee(ee)dee822xyyyyyyxxxxxyxxxxxyxyxxyxxxxxxx10.在极坐标系下计算二重积分：(1)222222sindd,;(,)|π4πDxyxyDxyxy(2)22()edd,xyDxyD为圆22xy=1所围成的区域；(3)arctandd,DxxyyD是由22xy=4,22xy=1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；(4)()dd,DxyxyD是由曲线22xy=x+y所包围的闭区域。解：(1)积分区域D如图10-16所示：215图10-16D亦可采用极坐标表示为：π≤r≤2π,0≤θ≤2π所以2π2π220π2π2πsindddsind2π6π.cossinDxyxyrrrrrr(2)积分区域D可用极坐标表示为：0≤r≤1,0≤θ≤2π.所以：222222π11()2000101eddded2ed()21π.1eexyrrDrxyrrr(3)积分区域D如图10-17所示.图10-17D可用极坐标表示为：0≤θ≤π4,1≤r≤2.所以：π2401π240arctanddarctan(cot)dd39ππd.2642Dxxyrry(4)积分区域D如图10-18所示，216图10-18D可用极坐标表示为：π3π,0cossin44r所以：3πcossin24π04cossin3π34π043π44π43π44π4