二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)

1二次函数图像和性质，解析式求法二次函数一．二次函数的概念1．二次函数的定义：一般地，形如2yaxbxc（abc，，为常数，0a）的函数称为关于x的二次函数，其中x为自变量，y为因变量，,,abc分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．知识图谱错题回顾顾题回顾知识精讲22．二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．一．考点：二次函数的概念．二．重难点：二次函数的概念．三．易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制．题模一：概念例1.1.1下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y=3x﹣1B．y=ax2+bx+cC．s=2t2﹣2t+1D．y=x2+例1.1.2若21(1)3mymxmx是二次函数，则m的值是（）A．1B．2C．1D．1例1.1.3若2322231mymxmxx是二次函数，则m的值是__________．例1.1.4二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b的值为（）A．-3B．-1C．2D．5随练1.1已知函数①54yx，②2263txx，③32283yxx，④2318yx，⑤2312yxx，其中二次函数的个数为（）随练1.2已知函数2113mymxx，当m_________时，它是二次函数．随练1.3中考）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=____．y=ax^2的图象和性质三点剖析题模精讲随堂练习3一．2yax的图象与性质a的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质0a向上y轴00，0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下y轴00，0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．一．考点：2yax的图象与性质．二．重难点：1．2yax的图象与性质；2．对于211yax和222yax，若12aa，则1y和2y的函数图像是全等的．三．易错点：开口大小由a决定，a越大，开口越小．题模一：y=ax^2的图象和性质例2.1.1若二次函数y=ax2的图象经过点P（-2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4）B．（-2，-4）C．（-4，2）D．（4，-2）例2.1.2若二次函数22mymx有最大值，则m__________．例2.1.3在同一直角坐标系下，画出二次函数2yx，2yx，212yx和22yx的图象．知识精讲三点剖析题模精讲4例2.1.4已知1a，点11,ay，2,ay，31,ay都在函数2yx的图象上，则（）A．123yyyB．132yyyC．321yyyD．213yyy随练2.1已知二次函数2yax经过点3,3A，点B也在该二次函数图像上，且ABx∥，则点B的坐标为（）A．3,3B．3,3C．3,1D．1,3随练2.2若二次函数21mymx有最小值，则m__________．随练2.3在同一坐标系中画出二次函数214yx，212yx，2yx的函数图像．y=a（x-h）^2+k的图象和性质一．2yaxhk（0a）的图像和性质2yaxhk（0a）是二次函数20yaxbxca的顶点式，其中,hk为其顶点坐标，xh为其对称轴．一般式配成顶点式的方法：222222242224bcbbcbbacbyaxbxcaxxaxxaxaaaaaaaa．a的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质0a向上xh(,)hkxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下xh(,)hkxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最大值k．二．2yaxhk（0a）图像的平移变换随堂练习知识精讲5函数2yaxhk的图象可以看做是由函数2yax的图象先向左或向右平移||h个单位，再向上或向下平移||k个单位得到的；当0h时，向右平移，当0h时，向左平移；0k时，向上平移，0k时，向下平移．平移原则：左加右减，上加下减．例如：将2yaxhk向左或右平移m0m个单位变为2yaxhmk，向右平移m0m个单位变为2yaxhmk；向上或下平移0nn个单位后变为2yaxhkn，先向左平移m0m个单位再向下平移0nn个单位后变为2yaxhmkn．一．考点：20yaxhka的图像和性质，20yaxhka图像的平移变换．二．重难点：20yaxhka的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则．三．易错点：1．在判断20yaxhka图像的增减性时一定要先确定开口方向；2．左右平移是针对x，上下平移是针对y．题模一：y=a（x-h）^2+k的图象和性质例3.1.1抛物线223yx的顶点坐标是（）A．2,3B．2,3C．2,3D．2,3例3.1.2将二次函数223yxx化成2yxhk形式，则hk结果为（）A．5B．5C．3D．3例3.1.3已知二次函数231yxk的图象上有三点12,Ay，22,By，35,Cy，则1y、2y、3y的大小关系为（）A．123yyyB．213yyyC．312yyyD．321yyy题模二：y=a（x-h）^2+k平移变换例3.2.1抛物线2(2)1yx是由抛物线2yx平移得到的，下列对于抛物线2yx的平移过程叙述正确的是（）A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位三点剖析题模精讲6随练3.1已知抛物线21533yx，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标5,3B．开口向上，顶点坐标5,3C．开口向下，顶点坐标5,3D．开口向上，顶点坐标5,3随练3.2将二次函数2281yxx化成2()yaxhk的形式，结果为（）A．22(2)1yxB．22(4)32yxC．22(2)9yxD．22(4)33yx随练3.3设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2随练3.4抛物线23(1)2yx经过平移得到抛物线23yx，平移的方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位B．向右平移1个单位，再向下平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位随练3.5在平面直角坐标系中，如果抛物线221yx不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．2223yxB．2221yxC．2221yxD．2223yxy=a^2+bx+c的图象和性质一．2yaxbxc的图象及性质：a的符号图象开口方向对称轴顶点坐标性质随堂练习知识精讲70a向上2bxa24(,)24bacbaa2bxa时，y随x的增大而增大；2bxa时，y随x的增大而减小；2bxa时，y有最小值244acba．0a向下2bxa24(,)24bacbaa2bxa时，y随x的增大而增大；2bxa时，y随x的增大而减小；2bxa时，y有最大值244acba．二．二次函数2yaxbxc图象的画法：1．五点绘图法：利用配方法将二次函数20yaxbxca化为顶点式2()yaxhk，一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与y轴的交点，与x轴的交点．一．考点：2yaxbxc的图象和性质．二．重难点：2yaxbxc的图象和性质，参数对图像的影响．三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．题模一：y=a^2+bx+c的图象和性质例4.1.1已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3例4.1.2点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3例4.1.3二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则三点剖析题模精讲8m+n的值为（）A．B．2C．D．例4.1.4阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1xm，求二次函数267yxx的最大值．他画图研究后发现，1x和5x时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数267yxx的对称轴为直线3x，∴由对称性可知，1x和5x时的函数值相等．∴若15m，则1x时，y的最大值为2；若5m，则xm时，y的最大值为267mm．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当24x时，二次函数2241yxx的最大值为_______；（2）若2px，求二次函数2241yxx的最大值；（3）若2txt时，二次函数2241yxx的最大值为31，则t的值为_______．题模二：参数对图象的影响例4.2.1已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b＜0，c＞0；②a+b+c＜0；③方程的两根之和大于0；④a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个例4.2.2一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9例4.2.3二次函数2yaxbxc的图象的一部分如图所示，求a的取值范围．随练4.1若1134Ay，，254By，，314Cy，为二次函数245yxx的图象上的三点，则1y，2y，3y的大小关系是（）A．123yyyB．213yyyC．312yyyD．132yyy随练4.2y=x2+（1-a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a≤-5B．a≥5C．a=3D．a≥3随练4.3二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4随练4.4在同一直角坐标系中，函数ymxm和函数222ymxx（m是常数，且0m）的图像可能是（）Oyx11随堂练习10A．A图B．B图C．C图D．D图随练4.5如图，二次函数20yaxbxca的图象经过点1,