选修2-2瞬时速度与导数课时作业

课时作业2瞬时速度与导数时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．f(x)在x＝x0处可导，则limΔt→0fx0＋Δx－fx0Δx()A．与x0，Δx有关B．仅与x0有关，而与Δx无关C．仅与Δx有关，而与x0无关D．与x0，Δx均无关【答案】B【解析】f(x)在x0处的导数与x0有关，与Δx无关．2．设函数f(x)可导，则limΔx→0f1＋Δx－f13Δx等于()A．f′(1)B．3f′(1)C.13f′(1)D．f′(3)【答案】C【解析】原式＝13limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝13f′(1)．3．一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则质点的初速度是()A．0B．3C．－2D．3－2t【答案】B【解析】质点的初速度即为s＝3t－t2在t＝0处的导数，limΔt→0sΔt－s0Δt＝3.4．设f(x)＝1x，则limx→afx－fax－a等于()A．－1aB.2aC．－1a2D.1a2【答案】C【解析】limx→afx－fax－a＝limx→a1x－1ax－a＝limx→aa－xx－a·ax＝－limx→a1ax＝－1a2.5．如果函数f(x)＝x在点x＝x0处的瞬时变化率是33，那么x0的值是()A.34B.12C．1D．3【答案】A【解析】ΔyΔx＝x0＋Δx－x0Δx＝ΔxΔxx0＋Δx＋x0＝1x0＋Δx＋x0，所以f′(x0)＝limΔx→01x0＋Δx＋x0＝12x0＝33，所以x0＝34.6．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是()A．1B．1－1x2C．0D．不存在【答案】C【解析】解法一：Δy＝(1＋Δx)＋11＋Δx－(1＋11)＝Δx－1＋11＋Δx＝Δx21＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx1＋Δx.∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0Δx1＋Δx＝0，∴y′|x＝1＝0.解法二：Δy＝(x＋Δx)＋1x＋Δx－(x＋1x)＝Δx－1x＋1x＋Δx＝Δxx2＋x·Δx－1xx＋Δx，∴ΔyΔx＝x2＋x·Δx－1xx＋Δx.∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x2＋x·Δx－1xx＋Δx＝x2－1x2＝1－1x2.∴y′|x＝1＝1－112＝0.二、填空题(每小题10分，共30分)7．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，则其在t＝________的瞬时速度为1.【答案】1【解析】Δs＝7(t＋Δt)2－13(t＋Δt)＋8－7t2＋13t－8＝14t·Δt－13Δt＋7(Δt)2，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14t－13＋7Δt)＝14t－13，令14t－13＝1，得t＝1.8．若f(x)＝x3，f′(a)＝3，则a＝________.【答案】±1【解析】ΔyΔx＝x＋Δx3－x3Δx＝(Δx)2＋3Δx·x＋3x2，f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝3x2.由f′(a)＝3，得a＝±1.9．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________；函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.【答案】2－2【解析】由A(0,4)，B(2,0)可得线段AB的方程为f(x)＝－2x＋4(0≤x≤2)．同理线段BC的方程为f(x)＝x－2(2x≤6)．所以f(x)＝－2x＋40≤x≤2，x－22x≤6，所以f(0)＝4，f(4)＝2.limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝f′(1)＝－2.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知函数f(x)＝xx，求f′(x)，f′(1)，f′(49)．【解析】∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)x＋Δx－xx＝x＋Δx3－x3x＋Δxx＋Δx＋xx，∴ΔyΔx＝x＋Δx3－x3Δx[x＋Δxx＋Δx＋xx]＝3x2＋3xΔx＋Δx2x＋Δxx＋Δx＋xx，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→03x2＋3xΔx＋Δx2x＋Δxx＋Δx＋xx＝3x22xx＝32x，∴f′(x)＝32x，∴f′(1)＝32，f′(49)＝32×49＝1.【规律方法】定义法求导数时，将ΔyΔx化简变形约去Δx，从而求极限，在其过程中x看作常量．11．(13分)一正方形铁板在0℃时，边长为10cm，加热后会膨胀．当温度为t℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．【分析】本题是求膨胀率问题，要求膨胀率应先求出膨胀前后铁板的面积，再求面积的增量，从而可求ΔSΔt.【解析】设温度的增量为Δt，则铁板面积的增量为ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，因此ΔSΔt＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.当Δt趋于0时，100a2Δt将趋于0，则铁板面积对温度的膨胀率为200(a＋a2t)．12．(14分)竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为120m/s，试问小球在何时的速度为零？(g＝9.8m/s2)【解析】小球的位移为h(t)＝120t－12gt2，即小球向上的位移是初速度引起的位移120t与重力引起的位移－12gt2的合成．由于在时间t附近的平均变化率为ΔhΔt＝[120t＋Δt－12gt＋Δt2]－120t－12gt2Δt＝120Δt－gtΔt－12gΔt2Δt＝120－gt－12gΔt.当Δt趋近于0时，上式趋近于120－gt，可见t时刻的瞬时速度为120－gt，即h′(t)＝120－gt.令120－gt＝0，得t＝120g＝1209.8≈12.2(s)．故小球在12.2s时的速度为零．