4第四讲-晶体对称规律

第四讲晶体宏观对称（二）对称组合定律及空间格子类型1对称要素组合定理定理一：LnP∥→LnnP定理二：Ln×L2⊥=LnnL2定理三：Ln（偶次）×P⊥→LnPC定理四：当n为奇数时：Lin×L2⊥（或P∥）→LinnL2nP当n为偶数时：Lin×L2⊥（或P∥）→Linn/2L2n/2P定理五：Ln×Lm→mLnnLm（当L3与L4斜交时）2空间格子类型与晶体常数特点（一）空间格子的划分（二）空间格子类型（三）十四种布拉维格子3对称型（点群）的国际符号1对称要素组合定理•回顾上次讲课用到的模型：•绿柱石：L66L27PC•锆石：L44L25PC•萤石：3L44L36L29PC从上面的结果可以看出什么规律？◆对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；◆当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。对称要素组合定理：定理一：LnL2LnnL2(L2与L2的夹角是Ln基转角的一半)逆定理：L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。例如:L4L2L44L2,L3L2L33L2思考:两个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?定理二：LnPLnPC(n为偶数)逆定理：LnCLnPC(n为偶数)PCLnPC(n为偶数)这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生第三者。因为偶次轴包含L2。定理3：LnP//LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半）；逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。（定理3与定理2对应）思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?定理4：LinP//=LinL2Linn/2L2n/2P//（n为偶数）LinnL2nP//（n为奇数）•图示说明•例1：方解石：L33L23PC，此L3为Li3（有对称中心）•有一个L2是垂直Li3的（或有一个P是包含Li3的）•则：Li33L23PL33L23PC•例2：四方四面体：有一个Li4，有P包含Li4•（或L2垂直于Li4）•则其对称型为：Li42L22P•定理五：Ln×Lm→mLnnLm（当L3与L4斜交时）•举例：萤石晶体模型：3L44L36L29PC32种对称型推导表•对称型共同式LnLnnL2LnP⊥(C)LnnP∥LnnL2(n+1)PCLinLinnL2nP(*1)Lin(n/2)L2(n/2)P(*2)晶系A类n=1L1Li1=C三斜n=2L23L2L2PCL22P3L23PCLi2=P单斜斜方n=3L3L33L2L33PLi3=Li3CLi33L23P=L33L23PC三方n=4L4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi4Li42L22P四方n=6L6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi6=Li6PLi63L23P=L33L24P六方B类3L24L33L44L36L23L24L33PC3Li44L36P3L44L36L29PC等轴2空间格子类型与晶体常数特点•2.1空间格子的划分2.1.1平行六面体的选择对于每一种晶体结构而言，其结点(相当点)的分布是客观存在的，但平行六面体的选择是人为的。•对于一个空间点阵，可以划分出一个平行六面体作为一个基本单位，整个空间点阵可以由这个单位平行六面体在三维空间的平移而产生。划分平行六面体的方式有很多，但应遵循以下原则：1）所选平行六面体的对称性应符合整个空间点阵的对称性；2）在不违反对称的前提下，应选择棱与棱之间直角关系为最多的平行六面体；3）在遵循前二条件的前提下，所选平行六面体的体积应为最小；4）当对称性规定棱间的交角不为直角时，则在遵循前三个条件的前提下，应选择结点间距小的行列作为平行六面体的棱，且棱间交角近于直角的平行六面体。下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子：4mmmm24mmmm2引出一个问题：空间格子可以有带心的格子；另外请思考：如果上面的图案对称为3m，该怎么画？●●●●●●●a0c0γβαb0平行六面体参数：a0、b0、c0和α、β、γ对比晶体几何常数划分7种平行六面体，对应于7个晶系•形状及参数？(七种形态)空间格子的划分2.1.2晶体常数特点•依据晶体对称特点、高次对称轴及对称轴的数量进行分类，各晶系晶体常数a、b、c及其夹角α、β、γ的相互关系如下：1）等轴晶系：a=b=c，；α=β=γ=90°；2）四方晶系：a=b≠c，α=β=γ=90°；3）六方晶系：a=b≠c，α=β=90°，γ=120°；4）三方晶系：a=b=c，α=β=γ≠90°；5）斜方晶系：a≠b≠c，α=β=γ=90°；6）单斜晶系：a≠b≠c，α=γ=90°、β≠90°7）三斜晶系：a≠b≠c，α≠β≠γ≠90°三十二种对称型及对称分类晶族名称晶系名称晶体常数特点对称特点对称型种类低级晶族（无高次轴）三斜晶系a≠b≠c≠≠≠90°无对称面无对称轴1.L12.C单斜晶系a≠b≠c==90°≠90°L2或P不多于1个3.L24.P5.L2PC斜方晶系(正交晶系)a≠b≠c===90°L2或P多于1个6.3L27.L22P8.3L23PC中级晶族（只有一个高次轴）四方晶系a=b≠c===90°有一个L4或Li49.L4;10.L44L2;11.L4PC12.L44P;13.L44L25PC14.Li4;15.Li42L22P三方晶系a=b≠c==90°;=120°有一个L316.L3;17.L33L2;18.L33P19.L3C;20.L33L23PC六方晶系有一个L6或Li621.Li6;22.Li63L23P;23.L624.L66L2;25.L6PC;26.L66P27.L66L27PC高级晶族（有多个高次轴）等轴晶系a=b=c===90°有四个L328.3L24L3;29.3L24L33PC30.3Li44L36P;31.3L44L36L232.3L44L36L29PC2.2平行六面体中结点的分布（即格子类型）1）原始格子（P）：结点分布于平行六面体的八个角顶上。2）底心格子（C、A、B）：结点分布于平行六面体的角顶及某一对面的中心。3）体心格子（I）：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。4）面心格子（F）：结点分布于平行六面体的角顶和三对面的中心。其中底心、体心、面心格子称带心的格子，我们在前面画格子的例子中已经知道有带心格子的存在，这是因为有些晶体结构在符合其对称的前提下不能画出原始格子，只能画出带心的格子。2.3十四种布拉维格子七个晶系---七套晶体常数—七种平行六面体种形状。每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格子？但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换，还有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存在，因此,只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。（A.Bravais于1848年最先推导出来的）•举例说明：•1、四方底心格子可转变为体积更小的四方原始格子；•2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一对面的中心安置结点，则完全不符合等轴晶系具有4L3的对称特点，故不可能存在立方底心格子。例1：四方底心格子＝四方原始格子例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？晶系原始格子（P）底心格子（C）体心格子（I）面心格子（F）三斜C=II=FF=P单斜I=FF=C斜方四方C=PF=I三方与本晶系对称不符I=FF=P六方与本晶系对称不符与空间格子的条件不符与空间格子的条件不符等轴与本晶系对称不符小结：平行六面体中4种结点类型：原始格子(primitive,P)体心格子(body-centered,I)面心格子(face-centered,F)底心格子(end-centered,C,A,B)3对称型（点群）的国际符号对称型相当于一个公式法，将所有的对称要素按一定规则罗列起来；而国际符号就是将对称型的表示加以简化，只写其中的基础对称要素；因为可以根据这些基础对称要素，通过对称要素组合定理将其所有的对称要素推导出来；各晶系晶体的国际符号组成分别有1～3个规定的方向，即：对称型的国际符号很简明，1）它不将所有的对称要素都写出来,2）并且可以表示出对称要素的方向性,3）但它不容易看懂.特点是:凡是可以派生出来的对称要素都省略了.对称要素的标记：在国际符号中，以1、2、3、4、6和分别表示各种轴次的对称轴和倒转轴；以m表示对称面，Li6的国际符号写为而不是3/m；C的国际符号写为。若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线隔开。如L4PC的国际符号写为4/m；L2PC以2/m表示。(由此可以看出，对称中心C就不必再表示出来了，因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C)。16•具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三个),每个序号位中规定了写什么方向上的对称要素(序号位与方向对应，这是国际符号的最主要的特色),对称意义完全相同的方向上的对称要素,不管有多少,只写一个就行了（简化，这是国际符号的另一特色）.不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同,一定不要弄混淆.每个晶系的国际符号写法见表3(此表很重要，要熟记！).